CAS d’une fonction a dérivée discontinue. 
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zéro est d’ordre pair, toutes les dérivées précédentes, d’ordre égale 
ment pair, jusqu’à la fonction proposée (qu’on peut regarder comme 
étant sa propre dérivée d’ordre zéro), seront maxima ou minima, sa 
voir maxima quand cette première dérivée différente de zéro se 
trouvera négative, minima quand elle se trouvera positive. Et si, au 
contraire, la première des dérivées qui différera de zéro est d’ordre 
impair, la dérivée précédente, d’ordre pair, ne sera ni maximum ni 
minimum; ce qui empêchera toutes les dérivées de môme parité 
moins élevées, jusqu’à la fonction f{x) elle-même, d’être maximum 
ou minimum. 
Gomme il a été dit, on n’a pas, d’ordinaire, à consulter d’autre dé 
rivée d’ordre supérieur que la dérivée seconde f"{x), et il y a maxi 
mum ou minimum suivant que sa valeur actuelle est négative ou 
positive. Le plus souvent même, un simple coup d’œil jeté sur la 
question indique assez l’existence d’un maximum ou d’un minimum, 
et auquel des deux l’on doit s’attendre. Il n’y a donc alors qu’à calculer, 
par l’équation f\x) — o, la valeur précise de x pour laquelle il se 
produit, et ensuite sa propre valeur f{x). 
Mais cela suppose la continuité de la dérivée f'{x). Quand il arrive à 
celle-ci de varier brusquement, il y a lieu de voir si elle ne change pas 
à ces moments de signe; car il est clair qu’alors, suivant qu’elle passe 
rait, pour des valeurs croissantes de x, du positif au négatif ou du néga 
tif au positif, la fonction f{x) cesserait ou décroître, ou de décroître, 
et présenterait un maximum ou un minimum. Le plus souvent, les 
discontinuités d’une fonction comme f'{x) tiennent à l’existence, dans 
son expression, d’un dénominateur qui, s’annulant, la rend infinie, et 
toutes les valeurs de x correspondantes sont données par l’équation 
f'ix) =±oo, c’est-à-dire -r-— = o. On pourra donc résoudre celle-ci: 
J v ' ’ t\ x ) 
après quoi l’on examinera si, pour la racine x trouvée, la pente f'{x) 
change ou non de signe ; dans le premier cas, la courbe représentative 
de la fonction (supposée toujours bien déterminée) y=f(x) aura 
Fig 
i4- 
Fig. ij. 
Fig 
16. 
Fig. 
ï 7. 
y 
y 
y 
il 
1 
v 
N 
'N, 
/ 
ï 
j 
j», 
..y 
fv 
0 R 
' a: 0 M'i a: 0 N 
' X (J 
N'» x 
une des formes IMJ 
, liMjJi, donnant lieu 
à l’ordonnée maximum