DISTANCE MINIMUM D’UN POINT A UNE COURBE. 
y — M'M ou à l’ordonnée minimum au contraire, dans 
le second cas, sa forme sera comme HNK ou HjNjKi, et la pente, 
tout en devenant infinie en N ou en N n conservera son signe, de sorte 
que l’ordonnée correspondante N'N, N'jNi ne sera ni maxima ni mi- 
nima. 
On peut souvent, sans s’inquiéter de savoir si la dérivée f\x) est 
continue ou discontinue, et sans môme former l’expression de f{x), 
se contenter d’appliquer d’une manière purement géométrique la 
règle générale de Fermât, en exprimant sur la figure du problème à 
résoudre l’égalité de deux valeurs infiniment voisines de la fonction, 
et en tirant de cette égalité quelque conséquence simple qui permette 
de construire le maximum ou minimum cherché. Les deux exemples 
suivants, auxquels je me bornerai, montreront comment on procède. 
101. — Premier exemple ; distance minimum d’un point à une courbe. 
Etant donnés une ligne quelconque BC, un point A situé ailleurs que 
sur elle et une droite mobile AM, menée de ce point à la ligne BC 
et définie par l’arc BM=n qui mesure 
sur la courbe la distance de son extré- 
b mité variable M à une origine fixe B, on 
demande de construire cette droite dans 
la situation AN où elle est lapins courte. 
Il s’agit donc de rendre minimum la lon 
gueur AM, qui est évidemment une cer 
taine fonction géométrique f{s), bien 
A 
\c continue, de l’abscisse curviligne s : si, 
par exemple, la courbe BC s’étend à 
l’infini des deux côtés de B et de G, f(s) décroît d’abord, à partir 
de l’infini, pour croître ensuite indéfiniment, quand s grandit de —oo 
à -t-oo; et le minimum existe bien. 
Pour le déterminer, prenons sur la courbe, de part et d’autre du 
point N qui le définit, deux points infiniment voisins, m et m', tels 
que, en vertu du principe de Fermât, les deux valeurs correspon 
dantes A m et A m' de la fonction soient égales. La corde infiniment 
petite mm' pourra être confondue, quant à la direction, avec la tan 
gente menée soit en m, soit en N. Or, dans le triangle isoscèle mAm', 
les angles à la base m ou m', compléments de la moitié de l’angle 
infiniment petit au sommet A, ne diffèrent pas, à la limite, d’un 
droit et, par conséquent, les côtés Am, Am', quand ils viennent se 
confondre avec AN, sont perpendiculaires à la tangente en N. Ainsi,