PROBLÈME DE LA RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE TRAITÉ PAR FERMAT. 1G7 
la plus courte distance demandée est une normale menée de K à la 
courbe. 
On démontrerait de même que, lorsqu’il existe une droite de 
longueur maximum entre un point et une courbe, cette droite 
est normale à la courbe. 
102. — Deuxième exemple : problème de Fermât sur la réfraction 
de la lumière; loi de l’épargne ou de la moindre résistance. 
Fermât, pour se rendre compte des phénomènes de la réflexion et 
de la réfraction, admit que la lumière, en allant d’un point à un 
autre, choisit le trajet susceptible d’être parcouru dans le moins de 
temps possible ; et ce principe a été confirmé depuis par la théorie 
des ondes lumineuses. On conçoit, en effet, que, parmi tous les 
mouvements vibratoires envoyés d’un point à un autre à travers di 
vers milieux ou par diverses voies, mouvements dont le plus ou moins 
de désaccord au point d'arrivée dépend de l’intervalle de leurs départs 
que mesure la différence des temps passés en route, les plus vite venus 
soient les seuls qui subsistent à ce point d’arrivée, ou qui s’y trouvent 
en assez grand nombre concordants pour n’être pas neutralisés en en 
tier par d’autres de sens inverse; car, vu justement la quasi-invaria 
bilité, près du minimum, de la fonction exprimant la durée des trajets, 
les mouvements arrivés par des chemins voisins du plus tôt parcouru 
ont tous exigé très sensiblement le même temps et sont, par suite, 
beaucoup moins discordants que les autres, ou constituent, dans l’en 
semble, un groupe dont il subsiste quelque chose après la neutralisation 
mutuelle de tout le reste de l’ensemble. Aussi sont-ils les seuls qu’on 
observe, conformément au principe énoncé de l’économie du temps. 
Fermât fut conduit à ce principe simple en remarquant d’abord 
qu’il était vérifié dans la transmission de la lumière à travers un mi 
lieu homogène et dans sa réflexion sur la surface limite d’un tel mi 
lieu, cas où, la vitesse de propagation (fonction de la nature du mi 
lieu) étant constante, la durée minimum du trajet correspond au 
chemin le plus court en longueur. Or on savait depuis 1 antiquité 
que la lumière, quand elle se transmet à travers un même milieu ou 
qu’elle se réfléchit sur une surface, choisit bien, entre deux points 
donnés, l’un de départ, l’autre d’arrivée, la trajectoire minirna, con- 
située dans un cas par la ligne droite et, dans l’autre, par une ligne 
brisée dont l’angle a sa bissectrice normale à la surface ( 1 ). Fermai 
(’) On démontre facilement par la Géométrie élémentaire, du moins quand la 
surface réfléchissante est plane, que cette ligne brisée a bien la longueur mini-