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PROBLÈME DE LA RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE, TRAITÉ PAR FERMAT
étendit ensuite, par induction, son postulatum de l’économie du temps
au phénomène de la réfraction, dans lequel la lumière passe d’un pre
mier milieu, où sa vitesse par seconde a une certaine valeur Y, à un
second milieu où sa vitesse prend une valeur différente V', et il put
alors expliquer comme il suit les lois de ce phénomène.
Soient A le point de départ de la lumière, B le point d’arrivée,
A' et B' les projections de ces points sur la surface de séparation des
deux milieux, supposée plane, et, par
suite, A/B' l’intersection de cette surface
par le plan normal mené suivant A et B,
plan de symétrie de la figure que for
ment A, B et les deux milieux. Tout
trajet allant de A à B et qui sortirait du
plan AA'B B' aurait évidemment, dans
chaque milieu, plus de longueur que sa
projection sur ce plan de symétrie. Donc
le trajet de durée minimum y est com
pris, et se trouve constitué par une des
A
lignes brisées, comme AMB, dont le sommet M est sur A'B',
lignes que définit complètement l’abscisse OM — x de ce point M,
comptée le long de la droite A'B' à partir d’une origine arbitraire O.
Comme le chemin correspondant AM dans le premier milieu serait
parcouru avec la vitesse V et le chemin MB dans le second milieu
car, si le point M parcourt la droite indéfinie OB, ou que x varie de
— go à oo, la durée du trajet, infinie aux deux limites et finie dans l’in
tervalle, ne pourra manquer, à un certain moment, de se mettre à
grandir après avoir décru.
Pour construire la trajectoire AMB telle qu’elle est à ce moment,
mum parmi toutes celles qui vont toucher la surface. Il suffit, pour le voir, d’ob
server qu’elle devient une droite quand on substitue à son premier côté la droite
symétrique par rapport au plan réfléchissant, tandis que toute autre ligne brisée
aboutissant aux mêmes extrémités se change, par une substitution analogue, on
une autre ligne brisée menée entre les deux extrémités de la droite précédente et,
par conséquent, plus longue qu’elle. Du reste, la démonstration par la méthode
infinitésimale, donnée ci-après pour la réfraction, s’applique sans changement au
cas de la réflexion.