MAXIMA ET MINIMA DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. 
171 
que, si, à l’inverse, f{x + lit, y -+- Kt, z -f- ht), est, pour l — o, mi 
nimum ou maximum quels que soient les rapports mutuels de II, K, 
L, la valeur f{x, y, z) sera ou inférieure ou supérieure à toutes les 
valeurs voisines, j\x -+- h, y -+- k, z h- /), obtenues en prenant pour 
H, K, L les quotients de h, k, l par une quantité t du même ordre de 
petitesse, et que, par conséquent, f{x, y, z) sera minimum ou maxi 
mum. Ainsi, chercher les minima ou les maxima d’une fonction 
j\x,y,z) de plusieurs variables indépendantes, c’est chercher à 
quelles conditions se produit, pour t~o, un minimum ou un maxi 
mum des fonctions /(¿TH-H t, j-q-Ki, z-y-ht) d’une seule va 
riable t. 
Bornons-nous à l’hypothèse de la continuité des dérivées partielles 
des deux premiers ordres de la fonction f{x, y, z), et au cas ordi 
naire où l’existence des maxima et des minima à considérer de 
f(x-hHt, y-\-lkt, z-\-ht) dépend des deux seules dérivées première 
et seconde de/par rapport à t. 
Vu la forme linéaire, en t, des fonctions simples x -+- Hi, y -t- Kp 
z -{-ht entrant dans Fexjn’ession de f, ces deux dérivées se formeront 
suivant la règle du n° 58 (p. 112). 
Et d’abord, d’après le principe de Fermât ou de Képler, la dérivée 
première devra s’annuler pour t — o ; ce qui, n’oublions pas de le re 
marquer, étend évidemment aux fonctions de plusieurs variables la 
grande loi de leur quasi-invariabili té dans le voisinage d’un mini 
mum ou d'un maximum. Or cette dérivée première de f en t est 
évidemment, pour t = o,^H +^K-(-^L. L’égaler à zéro, c’est 
1 dx dy dz 
donc écrire, en multipliant par t et rétablissant ainsi h, k, l au lieu 
de Hi, Ki, ht, 
(0 
df 
dx 
df 
dy 
df j _ 
dz 
D’ailleurs les petits accroissements arbitraires, positifs ou négatifs, 
h, k, l, peuvent être aussi bien regardés comme les différentielles des 
variables indépendantes x, y, z ; et la relation (1) revient à poser 
(2) 
df df df 
-y- dx -f- -f- dy H—j— dz — o ou dj — o. 
CfOC éïE Ci.*» 
Ainsi, quand la fonction f{x, y, z) est maximum ou minimum, 
sa différentielle totale s’annule identiquement pour les valeurs 
actuelles des variables. 
Les rapports mutuels de dx, dy, dz, dans (2), ou de h, k, l, dans 
(1), étant arbitraires, ces relations supposent nul, séparément, chacun