MANIÈRE DE DÉTERMINER CES MAXIMA ET MINIMA. 17g 
Pour fixer les idées, nous supposerons ces relations au nombre de 
deux, et susceptibles d’être prises sous la forme 
(34) o(x, y, Z, U, V) — o, <b{x, y, Z, U, V.) = O, 
cp, désignant des fonctions continues, et à dérivées premières conti 
nues, de x, y, z, u, v. Par conséquent, dès que x, y, z, u, v change 
ront, leurs différentielles devront elles-mêmes vérifier les deux rela 
tions ¿/cp = 0, = o, ou 
(35) 
dx 
d^_ 
dx 
dx 
¿/cp 
dy 
dty 
dy 
j ¿/9 7 c/9 do 
dy -f- —r- dz -+- —y— du dv = o, 
dz du dv 
dy -+- dz -+- du -1- -y- dv = o. 
ctz du dv 
Dans ces conditions, la recherche des maxima et minima relatifs 
de f{x, y, z, u, v) deviendra évidemment celle de maxima et minima 
absolus, si, tirant des équations (34) deux des variables en fonction 
des autres, u et v, par exemple, en fonction de x, y, z [ou, par suite, 
de (35), dueldv en fonction de dx, dy, dz~\, nous imaginons que l’on 
porte ces valeurs de u, v dans l’expression de /, de manière à trans 
former celle-ci en une fonction des trois variables, restées complè 
tement indépendantes, x, y, z. Or, d’après le principe de Fermât, les 
équations propres à déterminer x, y, z, dans un cas prévu de maxi 
mum ou de minimum, se formeront en exprimant l’annulation, 
quelques rapports qu’aient entre eux dx, dy, dz, de la différentielle 
totale df, c’est-à-dire en écrivant la relation 
(36) 
dx 
dx 
d£ 
dy 
dy 
^dz 
dz 
df df 
~\ j— du -\—y dv — o, 
du dv 
où il est entendu que du et dv sont les fonctions de dx, dy, dz déter 
minées par les conditions (35). Nous jiourrions donc résoudre par 
rapport à du et à dv les deux équations du premier degré (35), puis 
substituer les valeurs ainsi trouvées, linéaires en dx, dy, dz, dans 
(36), et annuler alors séparément les coefficients totaux des trois dif 
férentielles indépendantes dx, dy, dz, pour avoir entre x, y et z, 
conformément aux indications données précédemment (p. 172), les 
trois équations cherchées. Mais cette élimination de du et dv entre 
(35) et (36) conduit à des équations générales plus symétriques quand 
on y introduit, comme il suit, des inconnues auxiliaires X, p en même 
nombre que les équations de condition (34). 
Ajoutons à (36) les deux relations (35), après les avoir respective 
ment multipliées par ces inconnues auxiliaires X, p, que nous nous