8o 
RÈGLE PRATIQUE POUR LA RECHERCHE EES MAXIMA 
réservons de déterminer ultérieurement de manière à simplifier le 
plus possible les résultats. Il viendra 
(37) 
dx dx dx, 
do 
it + X + -A ) dz 
dz dz dz 
d^ 
d\ 
df * do dô\ , 
dy ' dy ' |X dy) Y 
df . do dò \ 
-f- -i- A -y- -+- P- ~r du 
du du du/ 
df , do dò \ 
■ 1 À -f -+- u. -T 1 \dv = o. 
dv 
dv 
Or nous savons que, si les termes en dx, dy, dz figuraient seuls dans 
celle relation (87), nous aurions le droit d’annuler leurs coefficients; 
et, d’autre part, rien ne nous empêche de faire que ces termes y soient 
en effet seuls, car nous pouvons disposer des facteurs X et ;x de ma 
nière à faire annuler dans (87) les coefficients totaux, en même 
nombre, de du et de dv, coefficients du premier degré en X, ¡x et 
dont l’annulation ne conduit ainsi qu’à résoudre un système d’équa 
tions du premier degré. Nous aurons donc, en définitive, des équa 
tions de maximum ou de minimum pouvant s’écrire, sous forme con 
densée, 
df - do d'h 
v d{x,y,z,u,v) d{x,y,z,u,v) d{x,y,z,u,v) 
et dont le nombre sera juste celui des inconnues proposées x, y, z, 
u, v. En les joignant aux conditions (34), en même nombre que 
les inconnues auxiliaires X, [x, il viendra bien un système d’autant 
d’équations que d’inconnues, après la résolution duquel la valeur 
maxima ou minima f{x, y, z, u, v), supposée prévue (quant à son 
existence), se calculera sans difficulté. 
Or on se serait évidemment trouvé conduit aux équations (38), 
si, toutes les variables x, y, z, u, v étant censées indépendantes, on 
avait cherché le maximum ou le minimum de la fonction /-h Xcp + ixé, 
formée par l’addition, à la proposée /(x, y, z, u, v), des premiers 
membres des équations de condition o = o, = o multipliés par tout 
autant de facteurs constants inconnus X, ¡x, en se réservant de déter 
miner ultérieurement ces facteurs au moyen des équations de condi 
tion elles-mêmes. Nous pouvons donc énoncer la règle suivante, dite 
règle des maxima ou minima relatifs, dont la démonstration était 
le but que nous poursuivions ici : 
Le maximum ou le minimum relatif d’une fonction f, dont les 
variables sont liées par des équations de condition 0 = 0, — o,...,