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APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL : THÉORIE 
DU CONTACT DES COURBES PLANES; ÉTUDE DE LEURS DROITES 
OSCULATRICES, DE LEUR CONCAVITÉ OU CONVEXITÉ ET * DE LEURS 
POINTS SINGULIERS. 
HL — Aperçu des applications géométriques du Calcul différentiel 
en ce qui concerne les courbes planes : triangle infinitésimal. 
Il me reste à exposer les principales applications du Calcul différen 
tiel à la théorie générale des courbes soit planes, soit gauches ou non 
contenues dans un même plan, et à celle des surfaces courbes. Les 
plus simples ont déjà été, ou traitées avec les détails qu’elles méri 
tent, ou du moins indiquées, à propos de la représentation des fonc 
tions et de leurs dérivées. C’est ainsi que, pour nous borner d’abord 
aux courbes planes, une fonction quelconque y~f{x) d’une seule 
variable, fonction soit explicite, soit implicite ou définie par une 
équation de la forme F (x,y)-=c, nous a conduit, en regardante 
comme une abscisse et y comme une ordonnée dans le plan, à consi 
dérer une courbe qui en dépeint toute la marche, et dont, en parti 
culier, la tangente en chaque endroit (pp. Si et 47*) représente la 
manière actuelle de varier de la fonction, c'est-à-dire sa dérivée pre 
mière ou pente, tandis que le cercle oscillateur de la même courbe 
(pp. 66* et 68*) exprime de plus la dérivée seconde de la fonction, 
c’est-à-dire la manière actuelle dont varie sa pente ( 1 ). Et la courbe 
considérée peut être d’ailleurs une courbe plane quelconque, prise 
elle-même, grâce à l’adjonction d’axes coordonnés des x et des y, 
comme définition de la fonction y— /{&)• 
Nous avons vu en outre (pp. 44 et 46) comment l’arc s de la courbe, 
compté à partir d’un point arbitraire de celle-ci et positivement dans 
le sens des abscisses croissantes, constitue une nouvelle fonction Aex, 
liée à y, en coordonnées rectangulaires, parla relation s'—\/i -+- y' 2 
(‘) Cette notion essentielle du cercle oscillateur n’a été donnée, il est vrai, que 
dans le fascicule II; mais elle se présentera bientôt, non moins naturellement, 
dans ce premier fascicule.