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COURBES PLANES : TRIANGLE INFINITÉSIMAL.
existant entre leurs dérivées. Celte formule a été obtenue comme
cas particulier d’une autre,résultant immédiatement (p. 45), pour une
courbe quelconque de l’espace, d’une figure où l’accroissement très
petit de l’arc, As, susceptible d’être confondu avec la corde correspon
dante, se présente comme la diagonale d’un parallélépipède, dont les
arêtes, dans les sens des trois axes, sont les accroissements simultanés
\x, Ay, Az des trois coordonnées. Mais, quand on veut l’avoir direc
tement pour une simple courbe du plan des xy, la figure peut être
réduite au triangle MI1M' de la page 3o, où, seulement, pour expri
mer l’intention de passer à la limite, les deux côtés MH A#,
HM' = Ay, parallèles aux axes, deviennent les deux différentiellesdx,
dy de l’abscisse et de l’ordonnée, et où, par suite, le troisième côté
MM', corde infiniment petite, devient à la fois l’élément suivant, ds,
de l’arc et le premier élément de la tangente MT. Si les axes sont rec
tangulaires, l’angle II du triangle est droit, et, en observant que
lang Il MM', d evenue tan g II MT, est la pente de la courbe, le triangle
donne de suite
(0
Pente =
dy
dx '
ds — y dx 2 -f- dy ’ 1 ,
ou bien, par la substitution de y'dx et de s'dx à dy et à ds,
(2) Pente = /, s' — f i -+-y' 2 -
Le triangle qui a ainsi pour côtés dx, dy, ds a reçu le nom de
triangle infinitésimal : il montre l’élément ds de la courbe dans ses
rapports tant de direction que de grandeur avec les éléments dx, dy
des coordonnées, et nous met en quelque sorte sous les yeux la loi
même de génération de la courbe point par point. Barrow, géomètre
anglais du xvn e siècle, paraît en avoir, le premier, fait un grand usage
et signalé toute l’importance.
Nous avons obtenu la tangente et le cercle oscillateur d’une courbe
comme les limites respectives d’une droite et d’une circonférence qui
auraient avec la courbe le plus grand nombre possible de points com
muns, répondant à des abscisses équidistantes dont on fait tendre
l’intervalle vers zéro. Nous avons vu qu’il résulte, à la limite, de cette
communauté de deux ou de trois ordonnées successives dans la courbe
et dans la droite ou le cercle, l’égalité, au point final de contact, de
la première, y', ou des deux premières, y' et y", des dérivées de l’or
donnée y par rapport à l’abscisse x, dans cette même courbe et dans
la droite ou le cercle ; et l’on en déduit immédiatement, d’après la
notion, développée plus haut (p. i45), du contact de deux fonctions,