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CONTACTS DES COURBES PLANES : LEURS CONDITIONS. l85 
que l’ordonnée de la courbe et celle de la droite ou du cercle en ques 
tion sont deux fonctions de l’abscisse ayant, pour la valeur de x qui 
correspond au point commun, un contact du premier ordre au moins 
s’il s’agit de la tangente et du second ordre au moins s’il s’agit du 
cercle. Or on a eu l’idée de généraliser ces divers faits; et il en est 
résulté une théorie, des contacts de lignes planes et des courbes oscu- 
latrices, qui est comme le centre auquel se l'attachent les autres théo 
ries générales sur les courbes planes. C’est donc par l’étude des con 
tacts de courbes et des lignes osculatrices que j’aborderai une nouvelle 
série de questions. 
112. — Théorie générale des contacts de courbes planes : conditions 
et signification d’un contact d’ordre n. 
Soient données, par leurs équations y=f[x), Y —cp(o?), deux 
courbes AB, AC rapportées à un axe, Ox, d’abscisses x, et à un axe, 
Oy, d’ordonnées, appelées y pour l’une des courbes et Y pour l’autre. 
On dira que ces deux courbes ont, en un point commun A, ou pour 
la valeur correspondante x de l’abscisse, un contact d’ordre n, si les 
Fig. 22. 
fonctions f{x), y{x) exprimant leurs ordonnées y présentent elles- 
mêmes un tel contact, défini comme il a été fait dans une précédente 
Leçon (p. i43), c’est-à-dire si, en donnant à l’abscisse, à partir du 
point commun A{x, y), un accroissement infiniment petit positif ou 
négatif PQ = /i, et construisant la parallèle indéfinie QB à l’axe des 
y, Vécart sur cette parallèle, BC = k, des deux courbes, écart égal 
à la différence f{x + h) — ® {x h) de leurs ordonnées correspon 
dantes BQ et CQ, est infiniment plus petit que la puissance n ième , h' 1 ,