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CONDITIONS d’un CONTACT d’ordre /1 ENTRE DEUX COURBES. 
de la variation simultanée h éprouvée par l'abscisse, mais n’est pas 
infiniment petit par rapport à la puissance entière suivante, h' l+1 , de 
la même variation. 
D’après une démonstration du n° 92 (pp. 144 à 14<3), un tel contact 
d'ordre n se produira aux conditions, nécessaires et suffisantes, 
qu’il y ait, pour la valeur désignée x de Vabscisse, égalité respec 
tive des ordonnées y, Y des deux courbes et de leurs n premières 
dérivées par rapport iï Vabscisse, comparées chacune à chacune, 
avec inégalité des deux dérivées suivantes, de l’ordre n + i ième . Au 
trement dit, on doit pouvoir écrire 
(au point commun) 
y = Y, y'= Y', y"— Y", ..., yM — y<«), y(n+i >. Y(«+d. 
Et il suffit, en particulier, que le contact soit du premier ordre, pour 
que les deux courbes aient même tangente au point commun, les 
coefficients angulaires respectifs y', Y' s’y confondant. 
D’ordinaire, le rapport de k à h" +y ne croît pas indéfiniment pour 
h — o, quand il y a contact d’ordre n, et l’écart k, ou f{x-\-h)—o{x-\-h), 
des deux courbes, est le produit de h n+i par une certaine fonction 
^(/¿) qui, à la limite h = o, reste finie et ne s’annule pas. Posons ainsi, 
pour toutes les valeurs (petites ou grandes) de h devenue maintenant 
la variable indépendante, k = h n+l ty{h) ; et l’ordonnée de l’une des 
deux courbes, de AB par exemple, pourra s’écrire 
cp(a? -i- h) -t- h"+ y <h{h). 
Or appelons, d’une part, e 0 , s,, z 2 , . . ., z n , n + i très petits paramètres 
indépendants, que nous ferons tendre vers zéro, et, d’autre part, 
<b(,3? + A), W(h) des fonctions de forme variable, mais tendant vers 
®{x-\-h) et 4*(/i) en même temps que les paramètres précédents e 
vers zéro; desorte que les deux valeurs, ©(¿c-f-h), v {x h) h n ~ hl <\> (h), 
des ordonnées quelconques y{x-\-h), f{x + h) des courbes proposées 
AG, AB, soient les limites respectives des expressions 
(4) <l>(a? -H h) et <f>(a7-t-A)-+-(A — £ 0 )(A — si)(A — e 2 )...(A — z n )W(h). 
Imaginons que Pou construise les deux courbes variables dont ces 
dernières expressions représentent les ordonnées et dont les deux 
courbes proposées AG, AB sont évidemment les limites. Comme le 
dernier terme de (4) s’annule pour h = s 0 , = z u .. ., — z n , la seconde 
de ces courbes variables aura ses n h- i points, répondant aux ab 
scisses x + h très peu différentes x + s 0 , x + e 1 , . .., x -f- z n , com 
muns avec la première des deux mêmes courbes; et leurs pentes, dé