UN CONTACT D’ORDRE 11 ÉQUIV. A 71 + 1 POINTS COMMUNS INF IN. VOISINS. 
finies par les dérivées de (4) en h, différeront d’ailleurs en tous ces 
points communs, qui seront ainsi des points d’intersection. Donc, 
deux courbes en contact d’ordre n sont les limites respectives de 
courbes variables, se coupant mutuellement en n -+-1 points arbi 
trairement répartis sur un très petit espace et qui tendent à se 
réunir en un seul, savoir, au point de contact proposé. D’une ma 
nière plus brève, on dira qu'un point de contact de l’ordre n équi 
vaut ci n -1-i points communs infiniment voisins. 
Réciproquement } quand deux courbes variables, ayant pour 
ordonnées, comme les précédentes, des fonctions F(æ), d 1 (¿c) de 
l’abscisse continues et à dérivées des n premiers ordres continues, 
présentent n -+- i points communs tendant à se confondre en un 
seul, leurs deux limites respectives, dont je prendrai les équations 
sous les formes y — f(x) et Y =: <d(x), ont, en ce point unique, un 
contact généralement de l’ordre n. Car, si l’on considère, pour 
chaque abscisse x, l’écart mutuel k = F( x) — d> (x) des deux courbes 
variables, supposées devenues très voisines de leurs limites, cet écart 
s’annule, par hypothèse, n + i fois sur une très petite étendue ; d’où il 
suit, d’après le théorème de Rolle (p. 35), que sa dérivée première, 
F'(,27) — ^\x), s’y annule au moins n fois, sa dérivée secondé, 
F'\x) — &"{x), au moins n — i fois, etc., jusqu’à la dérivée n ièmB , qui 
s’y annule au moins une fois. Donc, à la limite, où toute l’étendue eu 
question se réduit à un point et où cependant, par hypothèse, les 
fonctions F {x), &{x), devenues f{x), ©(¿u), ne cessent pas d’être con 
tinues non plus que leurs n premières dérivées, les n i différences 
f{x) — <f{x), f'{x) — ©'(#), ..., f (n) {x) — ©C 7î) {x) sont nulles au 
point commun ; ce qui revient bien à écrire les n + i premières des 
relations (3). Et quant à la (« -+- 2) ièlue , consistant dans l’inégalité 
f( n +i) (¿p) — (¿p) > o, on peut la supposer vérifiée en général 
d’elle-même, vu la rareté de l’annulation d’une grandeur quelconque, 
telle que f^^fx) — cp( ,i+1 ) (x), quand rien n’a été disposé expres 
sément pour la réduire à zéro. Si néanmoins ce cas tout exceptionnel 
se produisait, l’ordre du contact dépasserait le n ,cme . 
113. — L’ordre d’un contact est indépendant du choix des axes. 
Comme les deux lignes données, en contact d’ordre n, sont les limites 
de certaines courbes variables dont n + i points d’intersection tendent 
à se confondre, et comme, en outre, ces limites de deux courbes se 
coupant coup sur coup n -+-1 fois ont un contact au moins de l’ordre n, 
quelle que soit leur disposition par rapport aux axes, sous l’unique ré-