CONTACTS D’ORDRE PAIR ET CONTACTS D’ORDRE IMPAIR.
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lain nombre a ne tendant pas vers zéro ni ne grandissant indéfiniment.
D’autre part, le rapport des deux écarts BGj= k l et BG = k est, dans
le triangle BCC 1} celui des sinus des angles opposés G et C n sinus de
grandeur sensible, puisque la corde CCi ne tend pas à se confondre,
en direction, avec les parallèles BC, BCj: aux axes O y, 0 1 y 1 des or
données : par conséquent, le rapport de k i à k est encore un certain
nombre ¿1, fini comme a. Et puisque l’on a ainsi h v = ah, k r — bk, les
rapports j—, respectivement égaux * JL Jl, JL- t oucom-
k k
parables à — , ■ , sont ou non infiniment petits en même temps que
ces derniers. C’est bien dire que le contact atteint précisément le
même ordre dans les deux cas.
114. — Contacts d’ordre pair et contacts d’ordre impair.
Enfin, les contacts d’ordre impair se distinguent de ceux d'ordre
pair par un caractère important : les courbes s’y touchent sans se
croiser, alors qu’elles se coupent dans les contacts d'ordre pair,
comme aurait pu porter à le penser le fait ordinaire d’une simple in
tersection, qui peut, par extension, être assimilée à un contact de
l’ordre pair n ■=. o. Cette différence résulte de ce que l’ordre du
contact est le même pour les deux courbes que pour les deux fonc
tions y=zf{x), Y = y{x), exprimant leurs ordonnées, et de ce que
(p. 147) celle des deux fonctions qui était la plus grande pour les pe
tites valeurs négatives de h reste également la plus grande, ou devient
au contraire la moindre, pour les petites valeurs positives de h,
suivant que l’ordre est impair ou pair. Celle des deux courbes qui.
avant d’arriver au point commun, se trouvait au-dessus de l’autre,
ou du côté des y positifs par rapport à elle, reste donc encore au-
dessus après ce point, dans le premier cas, mais passe au-dessous, du
côté des y négatifs, dans le second. Ajoutons que, lorsque l’ordre est
impair, celle-là des deux fonctions ou des deux ordonnées est la plus
grande, dans tout le voisinage du point de contact, pour laquelle la
dérivée {n + i) ièmc , y( n +V ou Y (,i+1 G par rapport à l’abscisse, est elle-
même la plus grande en ce point, comme on voit par la même démon
stration (p. 146), où l’excédent, ^(/¿), de l’ordonnée dont il s’agit,
sur l’autre, a le signe de h ,l+i Y n+l \h) et est bien alors positif.
La différence en question se déduit encore de ce fait que les deux
courbes proposées, en contact d’ordre n, ne peuvent nulle part s’écar
ter d’une manière appréciable de deux courbes variables dont elles
constituent les positions limites, et qui, elles-mêmes, sont à des dis-