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RAPPORTS D’UNE COURBE AVEC SA TANGENTE :
coordonnées courantes, par rapport aux mêmes axes, de sa tangente
ou droite osculatrice, afin de ne pas les confondre avec celles, x, y,
du point de contact. La droite ayant comme équation y\-=ax l -1- b,
son ordonnée y l a pour dérivée première a et, pour toutes ses déri
vées suivantes, zéro. Les deux paramètres a et b devront donc se dé
terminer de manière que, pour la valeur x x — x de l’abscisse, l’ex
pression axi-h b, de l’ordonnée, égale y ou f{x), et, sa dérivée a,
y' ou f\x). Gela donne les deux relations a—y', ax -f- b~y, qui,
résolues en a, b, deviennent a —y', h—y— y'x et changent bien
l’équation y x — ax x -\h b de la droite en celle (p. 3i) de la tangente
demandée
y l = y Xiy — y x ou yi—y=y'(x l — x).
La dérivée seconde de l'ordonnée au point de contact est, dans la
droite, zéro, dans la courbe, y" ou f'\x), quantité généralement diffé
rente de zéro. Le contact ne dépasse donc pas, en général, le premier
ordre, comme il était évident, et, l’ordre en question étant impair, les
deux lignes se touchent sans se croiser. Celle des deux pour laquelle
la dérivée seconde de l’ordonnée, zéro ou f"(x), se trouve être en ce
point la plus grande, est située, par rapport à l’autre et dans tout le
voisinage du point de contact, du côté des y positifs. Donc, aux
endroits où l’on a y 1 ' ou f"{x) >• o, comme il arrive, par exemple, en
M, dans l’arc AB, la courbe est, par rapport à sa tangente Tt, du côté
Fig. 23.
des y positifs (ou de la parallèle Mjd à Or), ayant par conséquent
son creux de ce côté, son bombement du côté opposé des y négatifs :
on dit alors qu’elle tourne sa concavité vers les y positifs, sa convexité
vers les y négatifs, ou qu’elle est concave vers les y positifs, convexe
vers les y négatifs. Aux endroits où l’on a, au contraire, y" ou f{x)<C. o,
comme en M', la courbe se trouve au-dessous de sa tangente ou, re
lativement à celle-ci, du côté des y négatifs, et elle présente sa con
cavité de ce côté, sa convexité vers les y positifs.
