CONCAVITÉ, CONVEXITÉ ET INFLEXIONS DE LA COURBE. ig3 
Reste le cas exceptionnel où la dérivée seconde f"{x), supposée 
fonction continue de x, s’annule pour l’abscisse proposée x. Alors, 
cette dérivée se trouvant avoir la même valeur zéro dans la courbe 
que dans la tangente, le contact devient d’un ordre plus élevé que le 
premier, c’est-à-dire, en général, du deuxième; car il faudrait des 
circonstances bien spéciales pour que la dérivée suivante f"'{x) s’annu 
lât dans la courbe comme elle le fait dans la droite, et, cela, à l’instant 
même où déjà s’annule la dérivée deuxième f"{x). Ainsi, aux points 
oi\f"{x)—o, la courbe a, d’ordinaire, avec sa tangente, un contact 
du second ordre, et, comme cet ordre est pair, les deux lignes se 
coupent: la courbe y est croisée par sa tangente. C’est ce qui arrive, 
dans l'arc AB, en M", où la tangente est TV'. De pareils points sont ap 
pelés points d’inflexion, à cause du changement de sens [dû au change 
ment de signe de f\x)\ qu’y éprouve la concavité, partout opposée à 
une tangente contiguë et, par conséquent, dirigée en sens contraires 
pour les deux arcs M"!, M"i adjacents respectivement aux deux seg 
ments M"T" et M"l" de la tangente. On dit encore que la courbure y 
change de sens, pour exprimer le brusque déplacement qu’y éprouve 
le centre du cercle oscillateur, évidemment situé partout du côté de 
la concavité et qui, par suite, lorsqu’on le construit successivement 
pour les divers points de la courbe en allant de I vers i, saule, à 
l’instant où l’on arrive en M", d’ une des deux régions du plan que 
sépare la courbe AB, à l’autre région. 
11 arrive quelquefois aussi que la dérivée y", n’étant pas continue, 
change de signe non en s’annulant, mais en devenant infinie. Alors 
encore il y a inflexion, c’est-à-dire renversement du sens de la con 
cavité, avec croisement delà courbe par sa tangente; mais le contact 
de ces deux lignes n’est évidemment plus du second ordre; et, pai 
sible de la rapidité de rotation de la tangente d’un point au point sui 
vant (rapidité en rapport avec la dérivée y" de la pente y’), le rayon 
du cercle oscillateur s’annule, de sorte que son centre passe avec con 
tinuité d’un côté de la courbe à l’autre. 
Abstraction faite d’une circonstance aussi exceptionnelle et des cas 
également rares où la dérivée y" s’annulerait sans changer de signe, 
les points d’inflexion ne diffèrent donc pas de ceux où la tangente, 
qu’on peut prendre pour un cercle de rayon infini, présente, comme 
le cercle oscillateur, un contact du second ordre au moins avec la 
courbe, c’est-à-dire trois points communs infiniment voisins ou 
mêmes valeurs respectives de y, y', y", et devient, en conséquence, 
cercle oscillateur en même temps que droite osculatrice. Ce sont, en 
d’autres termes, les points où le rayon du cercle oscillateur est infini. 
B. — I. Partie élémentaire. (3