SES. RAPPORTS AA r EC LA COURBE PRÈS DE CE POINT. 
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Mais de pareilles concordances ne se produiront que dans des cas 
extrêmement rares; et l’on peut s’en tenir à la première relation (4), 
exprimant d’ordinaire, d’après le principe de Fermât, que R atteint 
une valeur maxima ou minima au point considéré. Donc, en général, 
le contact d’une courbe avec son cercle oscillateur est du second 
ordre le long de la courbe et du troisième aux points où le rayon 
de ce cercle devient soit plus grand, soit plus petit que dans tout le 
voisinage. 
Il suit de là que, sauf en ces points exceptionnels, le contact est 
d’ordre pair, et que le cercle y coupe la courbe, comme on le voit sur la 
figure ci-dessous. Or pour tout autre cercle ayant, en M(a?, y), même 
tangente MT que la courbe, le contact serait (vu la valeur différente 
de/") seulement du premier ordre, ou non accompagné d’intersec 
tion. Ainsi, l’on peut, en général, faire passer par un point donné 
d’une courbe un cercle et un seul qui, tout à la fois, l’y touche et l’y 
croise : c’est le cercle oscillateur. Mais il cesse de croiser la courbe 
aux points où son rayon devient maximum ou minimum ; et il y a 
d’ailleurs avec elle un contact encore plus long qu’ailleurs, c’est- 
à-dire qu’il s’en lient rapproché beaucoup plus et, par conséquent, 
sur une plus grande étendue. Tout sommet de la courbe ou extrémité 
d’un axe de symétrie se trouve (sauf les cas de discontinuité) au 
nombre de ces points exceptionnels; car il est évident, d’une part, 
que le rayon R, prenant les mêmes valeurs de part et d’autre, y devient 
maximum ou minimum; d’autre part, que tout cercle y touchant la 
courbe y a le même axe de symétrie qu’elle et ne peut l’y croiser. 
Pour construire le cercle oscillateur au point quelconque M{x, y) 
de la courbe proposée AR, il suffira d’y tirer d’abord la tangente 
Fig. 2\. 
MT, qui sera également la sienne, et de porter, sur la normale, ou 
perpendiculaire correspondante MC, le rayon MC=R calculé par la 
formule (3), en le menant du côté qui fait avec la parallèle M/' à 
l'axe des / positifs un angle aigu ou un angle obtus, suivant que la