RECTIFIC. DE LA DEVELOPPEE D UNE COURBE ALGEBRIQUE. 20Ó 
que, projeté sur sa normale C'G sous des angles presque droits, il don 
nera une projection ayant avec lui un rapport évanouissant, ou égale 
à une fraction infiniment petite soit de CD, soit même de l’arc cor 
respondant C'D' de développée. En effet, deux arcs correspondants finis 
et, par conséquent, comparables, des deux courbes, comme, par exem 
ple, AG et A'G', comprennent un même nombre indéfiniment croissant 
d’arcs élémentaires, tels que CD pour l’une et C'D' pour l’autre. Donc, 
le rapport de CD à C'D' est généralement de l’ordre de celui de AG à 
A'G' et, par conséquent, fini. C’est bien dire que la projection de DC 
sur C'G sera négligeable devant celle de C'D'. Reste à évaluer la 
projection, D'D x cos CED ou D'D x cost/0, de la partie rectiligne 
et principale D'D de la ligne mixte. Remplaçons-y cost/0 par son 
, • ¿/0 2 . . , 
expression tres convergente en sene i — H- . . ., qui, vu la valeur 
infiniment approchée ~ ou de l’angle de contingence c/0, peut 
s ecnre i — 
7— j Il viendra, pour la projection cherchée 
\ jJ D y 
de D'D, avec une erreur incomparablement plus faible que le second 
CD 
ou D'D —CD x — • On 
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terme écrit, la différence D'D— 
2 D D 
voit qu’elle équivaut à D'D, sauf une partie infiniment petite de l’arc 
CD ou de l’arc comparable C'D', partie encore négligeable vis-à-vis 
de C'D'. En somme donc, la projection G'C de la ligne mixtiligne 
C'D'DG est réductible à C'D'+D'D, ou la différence C'G — D'D 
réductible à C'D'; et le rapport limite de l’arc parcouru C'D' à la 
diminution simultanée C'C — D'D du rayon de courbure vaut bien 
l’unité. 
En appelant R 0 le premier rayon de courbure, R un autre quel 
conque de ces rayons, issu du point (¿c„ jq) de la développée, enfin 
v, l’arc intercepté de celle-ci, on pourra donc joindre au système des 
quatre équations (x), (2) et F(¿c, j) = o, la cinquième relation 
,q = R 0 —R; et l’élimination, par exemple, de x, y, yq, R entre ces 
cinq équations, toujours effecluable algébriquement si F{00,y) est un 
polynôme, donnera entre q et aq une relation de la forme tf (aq, q) — o, 
où cp sera un nouveau polynôme quand F(aq/) en sera un. Donc, 
lorsqu'une courbe est La développée d’une autre algébrique, son 
arc égale une fonction algébrique de ses coordonnées. Aussi la 
qualifie-t-on de rectifiable, pour signifier que sa longueur s’exprime, 
tout au moins implicitement, sous forme finie. 
D’après la démonstration précédente, tant que l’arc décrit sur la 
développée ne présentera pas de changement brusque de direction, le