ET PROPRIÉTÉS DES DÉVELOPPANTES D’UNE COURBE. 207 
proposée LAG. Concevons qu’un fil flexible et inextensible A'G'G soit 
fixé en A', puis, s’appuyant sur le corps, suive la développée jusqu’en 
G' et se continue enfin, tangentiellement à celle-ci, jusqu’à son extré 
mité libre G, supposée munie d’un crayon. Cela posé, si l’on lient le 
fil tendu et qu’on fasse mouvoir le crayon de G vers A, il est clair 
qu’une partie de plus en plus grande du fil se déroulera et que, à 
chaque instant, la partie non enroulée sera, par sa tension, maintenue 
tangente à A'G' ou, par suite, normale à AG. Or cette seconde partie, 
qui aura grandi de tout l’arc de développée ainsi déroulé, de G'G' par 
exemple, restera constamment, d’après la deuxième propriété, égale 
en longueur au rayon de courbure de AG qui aura sa direction, c’est- 
à-dire à C'G quand la partie déroulée sera G'C'; et, par conséquent, 
l’extrémité mobile du fil, alors en G, ne quittera pas la courbe. C’est 
dire que le crayon tracera celle-ci, GA, d’une manière continue, 
comme il tracerait une circonférence si la développée se réduisait à 
un point. Au delà de A, le fil, devenu A'A, s’enroulera sur la deuxième 
branche A'L' de la développée, et le crayon continuera à tracer la 
courbe de A en L, etc. 
Il reviendrait évidemment au môme d’avoir, au lieu d’un fil, une 
règle constamment tangente au corps figurant la développée, et qui 
roulerait sur ce corps sans glisser, c’est-à-dire de manière que sa 
partie comprise d’un même côté du point de contact variât continuel 
lement d’une quantité égale à l’arc de développée touché par elle. Un 
crayon attaché à l’extrémité de cette règle, et qui se serait trouvé 
d’abord en G, tracerait sur le plan la courbe GA. 
132. — Des développantes d’une courbe. 
Mais, si l’extrémité mobile G du fil ou de la règle décrit la courbe 
GA pendant que la développée se déroule ou que la règle roule sur 
elle, quelles courbes les autres points de ce fil ou de cette règle, P par 
exemple, décriront-ils? 
Pour le voir, imaginons qu’on mène de proche en proche, à partir du 
point P (p. 2o4), une ligne, P . . . NM, coupant à angle droit toutes les 
normales de la courbe GA. Cette ligne aura donc pour normales celles 
de la proposée et, donnant lieu aux mêmes intersections successives 
de ces normales, n’aura pas d’autres centres de courbure qu’elle, ni 
d’autre développée que la sienne G'A'L'. Et il suffira de concevoir la 
règle ou le fil terminés d’abord en P, pour que leur roulement ou dé 
roulement fasse tracer à l’extrémité mobile, devenue P, la courbe 
P . . . NM. En conséquence, tous les points du fil ou de son proion-