QUATORZIÈME LEÇON. 
SUITE ; COURBURE ET DÉVELOPPÉE DES SECTIONS CONIQUES. 
* THÉORIE DES COURBES ENVELOPPES. 
133. — Rayon de courbure des sections coniques. 
Voyons à quels résultats conduisent les théories de la dernière 
Leçon dans le cas des courbes du second degré. Nous aurons d’abord 
à calculer, par la formule (5) [p. 198] où la normale N a l’expression 
y\J 1 y 1 ' 2 , le rayon R du cercle osculateur à ces courbes. 
Prenons leur équation sous la forme générale qu’elle admet quand 
on les rapporte à leur axe focal pour axe des x et à la tangente à un 
sommet pour axe des y, les x positifs étant supposés tournés vers la 
branche de courbe dont ce sommet fait partie. On aura, comme on 
sait, 
(10) y-=‘ipx — (1 — e-)x‘ ¡ , 
les constantes positives p et e étant respectivement le demi-para- 
mètre, — ? quotient du demi-axe non focal h par le demi-axe focal a, 
et l'excentricité, rapport à ce demi-axe focal a de la demi-distance 
focale y/a 2 =p b 2 , inférieur à l’unité dans l’ellipse, supérieur à l’unité 
dans l'hyperbole, enfin égal à 1 dans le cas limite intermédiaire de la 
parabole, où a devient infini et b comparable seulement à y/a. 
Difl’érentiée deux fois, cette équation (10) donne, en divisant par 2, 
(11) yy' = P — (1 — e*)x, y* + yy"=e* — j. 
La première de celles-ci, élevée au carré, montre que y 2 y' 2 a pour 
valeur p 2 — (1 — e 2 )\ipx — (1 — e 2 )x 2 ] ou, d’après (10),p 2 — (1 — e 2 )y 2 . 
Le carré de la sous-normale y y' et la normale N ou ±\/y 2 + y 2 y' 2 
seront donc 
B. — I. Partie élémentaire. 
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