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COURBURE DES SECTIONS CONIQUES.
expressions un peu plus simples que celles qu’on aurait en n’y intro
duisant pas l’ordonnée y à la place de l’abscisse x.
Le numérateur de l’expression (5) de R est ainsi connu. Quant au
dénominateur y 3 y", la dernière (11), multipliée par y 2 , le donne de
suite, en y isolant ce terme y 3 y" et remplaçant y 2 y' 2 par sa valeur (12).
11 vient
y 3 y" = -p- ;
(.3)
et les valeurs (i3), (12) de y 3 y" et de N changent enfin la formule
générale (5) en celle-ci
Donc, abstraction faite du signe qui est contraire à celui de l’or
donnée y, le rayon de courbure d’une section conique égcde le
quotient du cube de la normale par le carré du demi-paramètre.
C’est dire qu’il varie, d’un point à l’autre, proportionnellement au
cube de la normale, laquelle grandit elle-même avec la valeur absolue
de l’ordonnée y, c’est-à-dire avec la distance ±y à l’axe focal. Il a
donc sa valeur minimum, exprimée simplement par p ou - -, aux ex
a
trémités de Faxe focal, pour y = o; et il n’atteint, comme y-, un
maximum que dans l’ellipse, pour y % =; ¿F, c’est-à-dire aux extrémités
du petit axe. Ce rayon de courbure maximum, vu la valeur corres-
a 1 , „ y 2 a 3 a 2 . . . , ,
— de e l , est p -7-ou Ainsi, a tout sommet
b' 2 p 1 1 b :i b
d’une conique, le rayon de courbure égcde le quotient, par le
demi-axe qui s’y termine, du carré d’un demi-axe perpendiculaire.
134*. — Son expression en fonction d’un angle définissant sa direction
même; et conséquences diverses dans le cas d’une ellipse peu aplatie.
(Compléments, p. 175*).
135. — Développée de la parabole; rectification de la seconde parabole
cubique.
Passons à l’étude de la développée des sections coniques; et com
mençons par la parabole, où l’hypothèse e = i réduit l’équation (10)
de la courbe à y 2 = 2px.
Remplaçons, dans les relations (2) [p. 190], le facteur y', la somme
y' 2 -f- y y" et ensuite le facteur y", qui y figurent aux premiers mem-