214 DÉVELOPPÉES DE L’ELLIPSE ET DE L’HYPERBOLE. 
entre les deux foyers F, F'. Mais le second, OQ ou B, a son rapport 
à h exprimé par — i, nombre au-dessous ou au-dessus de l’unité 
suivant que le rapport du grand axe 2 a de l’ellipse au petit 2 h n’at 
teint pas ou dépasse y 2 : les sommets Q et Q' sont intérieurs à l’ellipse 
dans le premier cas, extérieurs dans le second. Quand le rapport des 
deux axes a précisément la valeur intermédiaire yA, ou que la dis 
tance focale FF' égale le petit axeBB', Q coïncide avec B', Q' avec B, 
et P, P' sont au milieu des droites OA, OA', vu que la première for 
mule (28) donne alors A = a : les rayons de courbure minima égalent 
donc la moitié du demi-grand axe et les rayons de courbure maxima 
le double du demi-petit axe. 
Quel que soit le rapport de a à b, les formules (24) montrent que 
x! et x ont même signe, y 1 et y, signes contraires. Donc le centre de 
courbure, pour un point quelconque M {x, y) de l’ellipse, s’obtiendra 
en menant une normale MM' jusqu’à son contact, en M', après la tra 
versée de l’axe focal, avec l’arc PQ de développée situé du même côté 
du petit axe que le point proposé M. 
Quand l’ellipse se rapproche du cercle, ou que l’excentricité e tend 
vers zéro, le rapport de B à A tend vers l’unité, et l’équation (25) de 
la développée, multipliée par AJ, devient à la limite x\ -+- y\~ A 3 : 
cette courbe acquiert donc deux nouveaux axes de symétrie, bissec 
teurs des angles des axes coordonnés, car x x et y x y entrent symétrique 
ment. Mais, à moins que l’ellipse ne devienne infinie et ne garde entre 
ses deux axes une différence 2(a — b) finie, à laquelle correspondra 
une demi-distance focale \Ja 2 — b 2 ou y'a — b\]a + b infiniment crois 
sante, cette développée se rapetissera indéfiniment ou se ramassera, en 
quelque sorte, autour du centre O. En effet, son demi-axe A == ae 2 ex 
primera environ la différence 2 {a — b) = 2a(i — \J \ — e 2 ) des deux 
axes de l’ellipse, comme le montre le développement de 
, L 
y 1 — e' 2 — (1 — e 2 ) 2 
par la formule du binôme, avec suppression des termes en e* et au- 
dessus. Ainsi, la développée du cercle se réduit à son centre; ce 
qui était évident. 
Au sujet de la développée de l’hyperbole, je me contenterai d’ob 
server que, l’équation de cette conique s’obtenant par le simple chan 
gement de b 2 en — b 2 dans celle de l’ellipse, les calculs à effectuer 
seront la simple répétition des précédents ; car le changement de b 2 
en — b 2 ne modifiera rien aux raisonnements, b n’ayant figuré que