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CYCLOIDE : NORMALE ET TANGENTE ; 
C’est dire que la cycloïde pourrait être décrite aussi par le point M' 
d’une circonférence G' égale à la proposée C, mais qui, partie du 
point A' et non du point A, roulerait sur la base AA' en allant de A' 
vers A et non plus de A vers Ab Si l’on suppose que les deux circon 
férences mobiles G et G', décrivant ainsi toutes les deux la cycloïde, 
soient constamment symétriques par rapport à la perpendiculaire 
SS' abaissée sur AA', on aura S'N' — S'N et, par suite (vu que 
S'A'= S'A = it /•), N'A'=NA, arc N'M' — arc NM. Donc le point M' 
sera symétrique de M par rapport à SS'. Ainsi, un arceau de cycloïde 
est symétrique de part et d'autre de la perpendiculaire abaissée de 
son sommet sur sa base. 
D’ap rès la propriété générale des normales aux roulettes, la nor 
male menée en M à la cycloïde va passer par le point correspondant 
de contact, N, de la circonférence mobile et de la droite fixe. Quant 
à la tangente, comme elle doit être perpendiculaire à la normale MN, 
on l’aura en joignant le point M à l’extrémité ï du diamètre NT tiré 
à partir de N; en effet, l’angle TMN sera droit comme inscrit dans 
une demi-circonférence. Amenons le cercle C en OSS', en faisant dé 
crire à tous ses points des lignes égales et parallèles à NS' : les figures 
telles que MNS'Q, MTSQ seront des parallélogrammes et les cordes 
QS', QS se trouveront parallèles respectivement à MN, MT. On pour 
rait donc, sans que le cercle C fût construit, mener en un point donné 
M la tangente et la normale à la cycloïde, en tirant de M une paral 
lèle MQ à la base AA' jusqu’à la rencontre du cercle fixe O, au point 
Q, puis en joignant ce point Q aux deux extrémités du diamètre SS' 
et en menant enfin les parallèles MT et MN à ces deux droites QS, QS'. 
Aux extrémités A et A' d’un arceau, la tangente se trouvera évi 
demment perpendiculaire à la base AA', car elle y sera parallèle à S'S : 
donc, au point où deux arceaux contigus se joignent, la tangente 
est commune aux deux arceaux et la courbe présente ce qu’on 
appelle un rebroussement de première espèce (Q. 
■H6. — Développée et rayon de courbure de la cycloïde. 
Soit ASA' (p. 221) un arceau de cycloïde. Menons au-dessous de sa 
base, à une distance S'B égale à sa hauteur SS', une parallèle III à cette 
base AA'; et construisons une nouvelle cycloïde ABA' égale à la pre 
mière, mais placée de telle manière que deux demi-arceaux BA, BA' 
aient leur point de départ commun sur le prolongement de SS' et leurs 
(') Voir fascicule II, p. 160*.