DEVELOPPEE ET RAYON DE COURBURE.
221
sommets respectifs en A, A'. Le demi-arceau BA pourra être supposé
décrit par le point P d’une circonférence NPN', qui roulerait surBH,
de B vers H; en sorte que l’on ait, dans une quelconque de ses posi
tions, arcN'P=r N'B = NS' et, par suite,
arcNP = Tir — N'P AS'— NS'= NA.
Cela posé, si l’on construit, pour la cycloïde donnée A SA', le cercle
générateur TMN, dans la position où il est tangent en N au cercle
égal NPN', le point M correspondant de cette cycloïde sera lui-même
tel, que arcNM —NA. Donc les deux arcs NP, NM, tous les deux
équivalents à NA, sont égaux entre eux; et, par suite, leurs supplé-
Fig. 33.
ments PN', MT le sont également. 11 en résulte, d’une part, que les
deux cordes NP, NM sont égales, d’autre part, que les deux angles
inscrits PNN', MNT, dont la mesure est iPN' —fMT, sont égaux.
Et, comme leurs deux côtés NN', NT, étant des diamètres normaux à
la tangente AA' commune aux deux cercles, se trouvent en ligne
droite, il faut que ces deux angles égaux PNN', MNT soient exacte
ment opposés par le sommet, ou que NP soit le prolongement de MN.
D’ailleurs, d’après la règle donnée tout à l’heure pour construire la
normale et la tangente à une cycloïde, MN est normal à la première
ASA' et NP tangent à la seconde ABA'. Cela étant vrai pour toutes
les positions correspondantes possibles des deux cercles, on voit que
les normales de la première cycloïde coïncident avec les tangentes de
la seconde et que, par suite, celle-ci, sur laquelle se coupent succes
sivement ses propres tangentes ou cordes infiniment petites consécu
tives, est le lieu des intersections successives des normales à la pro
posée, c’est-à-dire sa développée môme.