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CYGLOIDE : RELATION SIMPLE ENTRE L ? ARG ET L’ORDONNÉE ; 
Donc la développée d’une cycloïde est une cycloïde égale. 
De plus la relation NP = MN montre que MP vaut le double de 
MN, et, comme MP est évidemment le rayon du cercle oscillateur pour 
le point M de la courbe donnée, on voit que le rayon de courbure, 
dans la cycloïde, égale le double de la normale menée à la courbe 
jusqu’à la rencontre de sa base. 
147. — Rectification de la cycloïde. 
D’après la seconde propriété générale des développées, la longueur 
d’une partie, AP, de l’arceau BAK..., comptée à partir du sommet A 
de l’arceau, équivaut à la différence des deux rayons de courbure 
menés, de ses extrémités P et A, à la développante AS. L’un de ces 
rayons de courbure étant PM, et l’autre étant nul (puisque ses deux 
extrémités se trouvent réunies en A), il vient 
arc PA = PM = 2PN; 
et, à l’instant où le point mobile P arrive en B, 
arcBA = BS = i BS' = 4 r. 
Le demi-arceau BA vaut donc en longueur le double du diamètre du 
cercle générateur, c’est-à-dire de sa propre projection BS' sur une 
perpendiculaire à la base; et, par suite, un arceau complet de cy 
cloïde est quatre fois aussi long que haut. Ce résultat simple, qu’a 
vait précédé à jieine le calcul de la longueur des arcs de seconde 
parabole cubique (p. 212), frappa extrêmement les géomètres du 
xvii 0 siècle, portés à penser jusque-là que le cercle était, de toutes les 
courbes, la moins difficile à rectifier. La longueur de l’arceau se 
trouve donc commensurable avec sa hauteur, tandis que sa base ne 
l’est pas, puisqu’elle égale la circonférence du cercle générateur, ou 
t: = 3,i4i% ... fois la hauteur. 
La relation arcPA = 2PN conduit immédiatement à une équation 
importante. Prenons pour axe des x la tangente AA' menée au som 
met A d’un arceau, et pour axe des y la perpendiculaire AH abaissée 
de ce point A sur la base de l’arceau. Appelons enfin s l’arcAP, 
compté positivement quand le point quelconque P de l’arceau est du 
côté des x positifs, négativement quand il est du côté opposé, c’est- 
à-dire en allant de A vers K. La droite NP, dans le triangle rectangle 
déterminé par les trois points N, P, N', sera moyenne proportionnelle 
entre l’hypoténuse NN' = 2 /■ et le segment NQ = P'P, qui n’est autre 
que l’ordonnée y du point P. On aura donc NP —\j2 ry, et, par suite,