ÉQUATION NATURELLE FINIE RE CETTE COURBE. 
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AP= r i\j‘xry ou ± s ■= l'sjiry. En élevant au carré et résolvant par 
rapport à y, il vient la relation cherchée 
Donc, dans un arceau de cycloïde, l’ordonnée, tirée perpendiculaire 
ment d’un point quelconque de l'arceau sur la tangente au sommet, 
est proportionnelle au carré de Varc correspondant compté à partir 
du sommet. 
148. — Équation naturelle finie et équation différentielle de la cycloïde. 
La relation (i) définit parfaitement la courbe ou, en d’autres ter 
mes, n’est vérifiée que dans une cycloïde; car, à partir de l’origine 
des arcs où s’annule y et où l’on prend l’origine des abscisses x, elle 
détermine de proche en proche ces abscisses en fonction de s, non 
moins que les ordonnées y. En effet, si l’on fait, dans (i), croître s de 
ds, et, par conséquent, y de dy, s- croîtra de 2sds-, ce qui donnera 
comme valeur de dy le quotient de sds par 4 r. Or on sait que l’ac 
croissement simultané dx de l’abscisse est lié à dy et à ds par la rela 
tion dx^ — ds 1 —dy % . Substituons à dy sa valeur, puis divisons par 
ds 1 et extrayons la racine carrée en observant que l’on est convenu 
de compter, à partir de l’origine, les abscisses croissantes dans Je 
même sens que les arcs croissants; en sorte que la dérivée de x en s 
doit être positive pour s — o et ensuite partout, par raison de conti 
nuité, jusqu’à ce qu’elle s’annule. Il viendra 
(a) 
dx y/'h 7 ’ 2 —' s 1 
ds \ r 
Les abscisses successives x sont donc déterminées de proche en proche 
par l’équation (1), en fonction des arcs s, comme le sont les ordonnées 
d’une courbe en fonction de son abscisse quand on donne, pour toutes 
les valeurs de celle-ci, à partir d’une ordonnée nulle, les pentes suc 
cessives y'de la courbe (p. 34)- Ainsi, entre les limites s—zy^r 
où le second membre de (2) ne s’annule pas, une courbe satisfaisant 
à la relation (1) a sa forme entièrement définie ; et elle ne peut différer 
de l’arceau de cycloïde de hauteur 2 /■ qui nous a conduit à celte re 
lation (1). 
La relation (1) caractérise donc parfaitement un arceau de cy 
cloïde et elle en est, à cause de son extrême simplicité, Véquation 
naturelle. Elle fait de la cycloïde la courbe en quelque sorte la plus