ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DE LA CYCLOÏDE. 
élémentaire après la ligne droite, quant aux rapports reliant l’ordonnée 
à l’arc, et lui confère le premier rôle dans plusieurs questions impor 
tantes de Mécanique où interviennent les chemins s parcourus par un 
mobile concurremment avec leurs projections verticales y. En effet, 
dans la ligne droite, l’ordonnée n’est pas moins proportionnelle à l’arc 
qu’à l’abscisse (l’un et l’autre étant comptés à partir du point où l’axe 
des abscisses coupe la ligne), ce qui est la relation la plus simple pos 
sible; mais la moins compliquée après celle-là consiste naturellement 
dans la proportionnalité de l’ordonnée au carré de l’arc. 11 existe, à 
cet égard, quelque analogie entre la cycloïde et la parabole, qui, rap 
portée à sa tangente au sommet comme axe des x et à la normale 
correspondante comme axe des y, a son ordonnée proportionnelle au 
carré de l’abscisse. Grâce à cette proportionnalité, la parabole est la 
courbe la plus simple après la ligne droite au point de vue de la 
relation existant entre l’ordonnée et l’abscisse, tandis que la cycloïde 
l’est pour la relation existant entre l’ordonnée et l’arc. 
Le plus souvent, dans les problèmes, la relation (i) se présente sous 
la forme d’une équation différentielle d’où l’arc a est éliminé. Divisons 
la dérivée de y en s que donne cette équation (i) par l’expression (a) 
de la dérivée analogue de x; et, dans le quotient, remplaçons y par 
sa valeur même ± y 8ry tirée de (i). Il viendra l’équation différen 
tielle de la cycloïde 
(3) 
ffy 
dx 
Si l’on suppose pour un instant les y pris comme abscisses et les x 
comme ordonnées, celte équation déterminera, pour toutes les ab- 
d.r 
scisses y à partir de l’origine choisie y — o, la suite des pentes 
dy 
île la courbe, dans chacun des quatre angles des coordonnées; et, par 
conséquent, elle définira de proche en proche cette courbe, de part 
et d’autre de l’axe des abscisses y, lesquelles seront essentiellement 
positives pour que le radical de (3) reste réel à partir de la valeur 
y — o. C’est dire que l’équation (3) ne peut être vérifiée dans aucune 
autre courbe qu’un arceau de cycloïde de hauteur 2 r, et qu’elle équi 
vaut parfaitement à (1). 
Au lieu des axes précédents AA' et AU se croisant au sommet d’un 
arceau, on adopte souvent pour axe des x la base BX de l’arceau et 
pour axe des y la tangente perpendiculaire BS menée à une de ses 
extrémités. La nouvelle abscisse, que j’appellerai X, du point quel 
conque P de l’arceau BAK.. . de la figure précédente (p. 221), et sa