QUADRATURE DE LA CYCLOÏDE.
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nouvelle ordonnée, que j’appellerai Y, sont BP', P" P, et égalent res
pectivement les différences algébriques AS'izzAP', P"P' — PP', ou
tc/’ — 2/■—y. Il faut donc, dans la formule (3), poser
x — ttr — X, y — ir — Y et, par suite, dx = — c/X, dy — — dX.
Il vient alors l’équation différentielle de la cycloïde sous sa forme la
plus employée
(4)
Comme il suffit, pour la rendre identique à (3), d'y renverser le sens
des abscisses et celui des ordonnées, en prenant comme nouvelle ori
gine le sommet d’où part l’ordonnée maximum Y = o.r (au-dessus de
laquelle le radical devient imaginaire), cette équation, toutes les fois
qu’elle se présente dans la recherche d’une courbe, prouve que la
courbe appartient à une cycloïde de hauteur ir rapportée à la base
de ses arceaux pour axe des X.
J 49. — Aires comprises entre un arceau de cycloïde et sa développée
ou sa base.
Quoique l’évaluation des aires relève du Calcul intégral, servons-
nous encore de la figure ci-dessus (p. 221), i° pour obtenir l’aire
comprise entre l’arceau ASA' de cycloïde et sa développée ABA',
2 0 pour voir comment cette surface est divisée par la base AA' de
l’arceau.
Et d’abord, les demi-arceaux AB, BA' étant parfaitement égaux,
tant pour la longueur que pour la forme, aux demi-arceaux SA' et AS,
les figures respectives APBS', A'BS' et S A'G', SAC, formées par ces
courbes et leurs tangentes extrêmes, sont toutes superposables ; de
sorte que les deux surfaces mixtilignes APBS' et A'B S' peuvent être
portées en S A'G' et SAC. La surface à évaluer AS A'B sera ainsi
transformée en un rectangle AA'G'C, dont l’aire égale AA' x SS' ou
27rr x 2/■ = 4 7т:/ ■ 2 • Par conséquent, l’aire comprise entre un arceau
de cycloïde et sa développée vaut quatre fois celle du cercle géné
rateur de la cycloïde.
Divisons maintenant cette surface AS A'B, pour voir comment la
partage la base AA' de l’arceau, en triangles infiniment aigus, par
des normales comme MP, qui iront se couper, successivement, infini
ment près de la développée AB, aux sommets respectifs de ces triangles.
Chaque normale étant, comme on a vu, intersectée par AA' en son
milieu, la partie des triangles située entre AA' et leurs sommets
B. — I. Partie élémentaire. i5
