228 ÉQUATIONS d’üNE COURBE GAUCHE OU A DOUBLE COURBURE; 
ticulière dont elle est décrite. Aussi, malgré leur symétrie en x, y, z, 
ou l’analogie du rôle qu’y jouent les trois coordonnées, tandis que celui 
de variable indépendante y est laissé au temps t, bien désigné pour 
ce rôle tout spécial et unique par sa nature absolument différente de 
celle de x, y, z, ces équations sont-elles assez rarement les plus sim 
ples; et, dans bien des applications, il est préférable de n’y faire 
figurer que les coordonnées x, y, z des points de la courbe, pour eu 
élaguer ce qui varierait avec le mode de description. A cet effet, on 
élimine t, en concevant, par exemple, sa valeur en fonction de x tirée 
de la première équation x=f l {t) et substituée dans les deux autres. 
Il vient alors, pour représenter la courbe, deux équations seulement, 
de la forme y — /(¿c), z = où les deux fonctions f et cp peuvent 
être quelconques, car elles ne différeraient pas des deux, restées arbi 
traires, / 2 et A, si l’on faisait décrire la courbe de manière à avoir 
constamment t —- x. 
Ces deux équations y = jC(), z = <o(x) suffisent bien d’ailleurs 
pour définir chaque branche de courbe coupée en un seul point M par 
tout plan mF m! parallèle aux yz; car, dès que ce plan est donné ou 
<[ue l’on connaît son abscisse x, le point M qu’il contient, de la courbe, 
se construit de suite, en y menant bout à bout les coordonnées dès 
lors connues Pm —y =/{x) et = suivant les sens 
respectifs de O y et de O^, ou leurs opposés (quand y oii z sont né 
gatifs). Et l’on voit que, à l’inverse, toute branche de courbe, con 
struite en même temps que le système des axes, revient à se donner 
au moins empiriquement ces deux équations y =:f(x), z ■= 
car il suffit alors de connaître OP ou x, pour que le plan mFm', en 
coupant la courbe, détermine M et, par suite, mM ou z et Pm ouy: 
y et z deviennent donc deux certaines fonctions de x. Lorsque plu 
sieurs branches de la courbe se déroident à la fois en face des mêmes 
points de l’axe Ox, c’est-à-dire pour les mêmes abscisses x, les 
fonctionsf(oc), ©(¿r) comportent plus d’une série distincte de valeurs; 
mais on peut les regarder toujours comme bien déterminées, en n’y 
considérant que la série en rapport avec la branche suivie actuelle 
ment. 
Deux des coordonnées du point M, x et y par exemjffe, lui sont 
communes avec sa projection, m, sur le plan de ces coordonnées ou 
des xy, projection obtenue en menant une parallèle Mm à l’axe O g 
de la troisième coordonnée, et que je qualifierai d'oblique toutes les 
fois que cet axe ne sera pas normal au plan des deux autres, afin de 
la distinguer de la projection ordinaire ou orthogonale, qui serait le 
pied de la perpendiculaire abaissée de M sur le plan. Et, de même,