TANGENTE A UNE COURBE GAUCHE. 
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de celte courbe. Si x x , y 1} z x sont les coordonnées d’un quelconque, T, 
de ses points (ou coordonnées courantes), x x , y x et x x , z x seront res 
pectivement celles de t et de t', et la tangente MT aura pour équa 
tions les équations mômes de ses deux projections mt, /71' t', savoir, 
en appelant y', z' les deux dérivées des fonctions y— s = cp(cr), 
(l) y l — y=y\x l — x), z 1 — z = z'(x ! —37). 
Mais, si la courbe AB était considérée comme la trajectoire d’un 
point mobile M, ou que x, y, z fussent trois fonctions données 
x =/i(i), / z— d’une variable auxiliaire /, on obser 
verait directement que, le long de la droite MT, les trois différences 
x x — x, y y — y, z x — z, projections obliques de MT sur les trois axes, 
gardent entre elles les mêmes rapports quand le point T se déplace, 
et qu’elles sont, par conséquent, proportionnelles à leurs valeurs 
dx ■=. x' dt, dy — y' dt, dz —z' dt relatives au moment où le point T 
est à la seconde extrémité K de la corde infiniment petite MK. On 
aurait donc, comme équations de la tangente, 
(2) 
X\ — x _ yi—y Zy — Z 
x' ~ y' ~ z' 
relations qui se réduisent bien à (1) par l’hypothèse t~x, c’est-à-dire 
quand on a x' — 1 et que y, z deviennent fonction de x. 
Enfin, si la ligne proposée AB est définie comme intersection de 
deux surfaces F(x, y, z) = 0 et d>(x, y, z) =0, leurs plans tangents 
en (x, y, z), lieux respectifs des tangentes menées en ce point aux 
courbes s’y croisant sur chaque surface, devront tous les deux, 
puisque AB appartiendra à la fois aux deux surfaces, contenir la tan 
gente MT, qui sera dès lors leur intersection. D’après l’équation des 
plans tangents démontrée vers le commencement de ce Cours ( 1 ), les 
deux équations de la tangente seront 
1 d F , 
d F , 
d F 
J + 
-y)-1- 
0 
11 
0 
1 
I 
r>o 
1 ^ 
1 d<P . 
c/d' . 
<r/d> , 
W (r '- 
-y) + 
■ 7G (^---) = o 
On les aurait déduites, par exemple, de (1), en observant que les deux 
(’) Elle ne l'a encore été, sous la forme employée ici, que clans le Fascicule It 
(p. 4g*); mais, pour déduire cette forme de la plus simple (17) donnée à la p. g5, 
il suffit de substituer, aux deux dérivées partielles p, q de l’ordonnée s, leux-s 
valeurs obtenues, comme on a vu p. 120, en dilférentiant par rapport à x et à y 
l’équation F — 0 ou d> = 0 de la surface.