PARALLÉLÉPIPÈDE ET TÉTRAÈDRE INFINITÉSIMAUX. 
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par les projections respectives de cette ligne sur les deux plans des 
xy et des xz. Elle montrerait que l’écart de cette ligne d’avec la pro 
posée ML, mesuré dans le plan lQl r , serait comparable au plus grand 
des deux écarts analogues de ses deux projections d’avec celles, ml, 
m' 1', de la courbe ML. Autrement dit, Vordre du contact de deux 
courbes dans l'espace est celui de leurs projections respectives sur 
deux plans coordonnés, quand les écarts, dans ces deux plans, sont 
m utuel lemen t compara bles. 
157*. — Supériorité de la forme implicite des équations sur leur forme 
explicite, pour représenter à la fois la totalité d’une courbe gauche ; 
points singuliers. 
(Compléments, p. 207*.) 
158. — Parallélépipède infinitésimal et cosinus directeurs de la tangente; 
de l’arc comme variable indépendante. 
Le calcul de la différentielle d’un arc s de courbe nous a conduit, dés 
le début de ce Cours (p. 44), à une construction qui montre bien les 
rapports existant entre la direction de la tangente, ou de l’élément ds 
de courbe émané du point (x, y, z) de contact, et les directions des 
axes. Cette construction consiste en un parallélépipède, qui, à partir 
du sommet M(a?, y, z), a pour diagonale l’élément môme ds — MM', 
susceptible, à la limite, d’être confondu avec sa corde, et pour arêtes 
ses trois projections (obliques) dx — ± MP, dy — ± MQ, dz ~ zb MR, 
sur trois parallèles aux axes, projections qu’on prendra positivement ou 
négativement suivant que, à partir de M, elles seront dirigées dans les 
sens des x,y, z positifs ou dans ceux des x, y, z négatifs. Un tel paral 
lélépipède, qu’on pourrait, pour plus de simplicité, réduire au tétraèdre 
ayant comme arêtes issues du point (x, y, .s) l’élément ds = MM' avec 
ses deux projections (obliques) sur la droite MP parallèle aux x et sia 
le plan PMQ parallèle aux^y, remplira évidemment, pour les courbes 
de l’espace, le même rôle que le triangle infinitésimal de Barrow 
(p. i84) pour les courbes d’un plan. 
Bornons-nous au cas particulièrement usuel d’axes rectangulaires, 
afin que dx, dy, dz soient des projections orthogonales de ds; et ap 
pelons a, p, y les trois angles que fait, avec les axes des x, y, z positifs 
représentés par leurs parallèles issues de M, la tangente, proion a e_ 
ment de la corde à = MM'. Ces angles étant précisément ceux sous 
lesquels ds a pour projections, en grandeur et en signe, dx, dy, dz, 
celles-ci égalent respectivement ds cosa, ¿/,scos¡3, ds cos y; et les trois