234 COURBES DANS L’ESPACE; DE L ARC COMME VARIABLE INDEPENDANTE. 
cosinus directeurs de la tangente sont, en conséquence, exprimés par 
les formules 
dv 
ds 
dz 
ds 
C0S P= ±> 
cosa = 
cos 
ds 
(G) 
La tangente se trouve ainsi menée dans le sens même suivant lequel 
la courbe est censée décrite par un point mobile, c’est-à-dire de M, 
où les coordonnées sont x, y, z, vers M', où elles sont x-\-dx, 
y -+- dy, z -(- dz, et oCi la variable indépendante (quelconque) t a crû de 
la quantité positive dt, en même temps que l’arc déjà parcouru s, 
qui se prend ici en valeur absolue, a crû de la quantité non moins 
positive ds. Donc, si, dans les formules (6), on substitue à dx, dy, dz, 
ds, les produits, par dt, des dérivées correspondantes x', y', z', s r , le 
radical \Jx' 2 -\-y' 2 H- z 2 , valeur de s', devra être pris en grandeur ab 
solue; et l’on aura, sous une forme un peu condensée devenue fami 
lière, 
s' — \Jx' 1 -t- y' 1 -t- 
Ces formules atteindront leur plus haut degré de simplicité en po 
sant t — s comme il a été déjà indiqué au n° 15 (p. 45), c’est-à-dire 
en choisissant l’arc s pour variable indépendante. Alors s' — i et il 
vient 
(8) cosa = a?', cos ¡3 = y', cos y = s', avec x' 2 -+- y' 2 -\- z' 2 — i, 
ce qu’exprimaient déjà dans la notation leibnitzienne les formules in 
tuitives (6). Donc, quand on prend, avec des axes rectangulaires, 
l’arc comme variable indépendante, les dérivées premières des trois 
coordonnées expriment les cosinus directeurs de la tangente ; et la 
condition connue, en vertu de laquelle les carrés de trois cosinus 
directeurs ont pour somme l’unité, devient une relation simple 
entre ces trois dérivées. 
On verra bientôt que ces simplifications ne sont pas les seules, et 
combien le choix de l’arc comme variable facilite en général l’expres 
sion des propriétés des courbes gauches. La raison en est uniquement 
dans ce fait, que la somme x ,2 -y y' 2 + z' 2 se réduit alors constamment 
à l’unité. Il en résulte, par exemple, que la dérivée de x' 2 y' 2 -y z' 2 
le long de l’arc, savoir, le double du trinôme x'x"-y y'y" H- z'z", 
s’annule identiquement; et l’on peut, en joignant à la dernière relation 
(8) cette conséquence qu’elle entraîne, écrire les deux formules, sou-