PLAN OSCULATEUR A UNE COURBE GAUCHE : 
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100. — Du plan osculateur; ses principales propriétés. 
Reprenant un système quelconque d’axes O x, Or, 0~ rectangulaires 
ou obliques, concevons qu’on fasse passer un plan par trois points de 
la courbe très voisins, mais d’ailleurs arbitraires, correspondant à trois 
valeurs peu différentes t, t 4- At, t -t- A't de la variable indépendante, 
et dont j’appellerai les coordonnées, respectivement, x, y, z\ æ+Ax, 
y -+- Ay, z + As ; x H- A' x, y -h A 'y, z h- A ' z. Il est aisé de voir que ce 
plan tendra, quels que soient les rapports des distances mutuelles des 
trois points, vers une position limite parfaitement déterminée, si l’on 
fait tendre les trois points vers un seul en rendant infiniment petits 
A t, A 't et, par suite, Ax, Ay, A^, A'-r, A 'y, A ' z. 
Soient, en effet, x x , y u les coordonnées courantes d’un plan de 
direction quelconque mené par (x, y, z), et 
0 i) A(^1 — x) -t- B(jKi—y) Ct.G, — z) — o 
son équation, où les trois coefficients A, B, G (pris de grandeurs 
absolues comparables à l’unité) définissent la direction du plan par 
leurs rapports mutuels, seuls à considérer. Exprimer que ce plan 
est justement celui qu’on veut mener, ou qui passe par les points 
(x + Ax, y + Ay, Z -h A z) et {x h- A'x, y + A 'y, z + A' z), c’est évi 
demment écrire que son équation se trouve satisfaite quand x x — x y 
y x—y, z t — £ y deviennent soit Ax, Ay, Az, soit A'x, A 1 y, A'z. Les deux 
équations déterminant des rapports mutuels de A, B, G seront donc 
A Ax H- B Ay + G Aü =: o, A A'x -H B A'y -+- G A' z — o. 
On peut les diviser respectivement par A t, A 't, et substituer même 
ensuite à la seconde sa différence d’avec la première; ce qui donnera 
( i 2 ) 
A 
Ax 
a7 
At 
/A’x Aa?\ 
\ W _ ÂJ / 
Or, supposant continues dans la région étudiée les dérivées premières 
et secondes des fonctions x, y, z de t, développons par la formule de 
Taylor les petits accroissements Ax, Ay, Az et A'x, A’y, A'z de ces 
fonctions, pour les deux accroissements respectifs A t, A’ t de la variable. 
Si nous appelons x', y', z', x", y", z" les dérivées des deux premiers 
ordres de x, y, z, prises pour le point (x, y, z) de la courbe ou pour 
la valeur t, de la variable, à partir de laquelle se comptent les accrois