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DU PLAN OSCULATEUR A UNE COURBE GAUCHE : 
qu’un plan soit tel, que la courbe s’en éloigne le moins possible clans 
le voisinage de M, il doit d’abord évidemment passer par ce point M. 
Et il faut même de plus qu’il contienne la tangente MT : sans quoi il 
ferait avec elle un angle fini et, par suite, sensiblement le même angle 
avec la corde MM', de sorte que la distance de M' au plan, produit 
de la corde MM' par le sinus de cet angle fini, serait incomparable 
ment supérieur à M'T, alors qu’elle est visiblement moindre pour 
les plans menés suivant MT. Soit donc PQ un de ces plans (contenant 
MT), M'[x sa distance à M' et, par suite, M'Tjx l’angle qu’il fait avec 
le plan MTM' mené suivant la tangente MT et le point Mb Le triangle 
M T¡x, rectangle en p, donnera M' ¡x =; M'T sinM'Tjx. Donc, si le plan 
PQ n’est pas la limite vers laquelle tend le plan MTM' quand MM' 
s’évanouit, l’angle M'T ¡x, ne s’annulant pas pour MM'=o, aura une 
valeur sensible; et la distance M'jx du point M' au plan sera de l’ordre 
de sa distance M'T d’avec la tangente, alors qu’elle deviendrait incom 
parablement plus faible si sinM'T ¡x tendait vers zéro. Par conséquent, 
le plan dont la courbe s’éloigne le moins aux. environs du point M est, 
comme on voulait Je démontrer, la position limite de celui qui passe 
par la tangente MT et par le point M' tendant vers M. 
C’est jmurquoi on l’appelle Je plan oscillateur à la courbe en M. II 
est (autant que possible) pour la ligne gauche, près du point de con 
tact M, ce qu’est le propre plan d’une courbe plane pour cette courbe, 
savoir, celui dans lequel tourne la tangente aux environs de M. 
Menons en effet la tangente au point M', que nous supposerons avoir 
été d’abord confondu avec M, mais s’en être éloigné très peu, et 
appelons x H- Ax, y -+- Ay, z -f- Au les coordonnées de M'. D’après les 
formules (2) [p. 281], la direction de la tangente sera définie par les 
dérivées premières de ces cooixlonnées, dérivées égalant leurs valeurs 
x', y', z' relatives au point M accrues de petites différences, Ax', Ay', 
Az r , dont les rapports à l’accroissement simultané At de la variable 
entre M et M' sont à fort peu près les dérivées secondes x", y", z" pour le 
point M. Nous verrons plus facilement comment tourne cette tangente 
en lui menant par le point fixe M une parallèle, dont la rotation fera 
juger de la sienne. Or, si x 1 ,y i , z t désignent les coordonnées courantes 
de la parallèle ainsi tirée, sa direction sera définie, comme on sait, 
par les trois différences x x — x, y x — y, z t — z, en môme temps que 
par les trois dérivées x'-y Ax', y'-y Ay', z'-y Az' ou, sensiblement, 
x'-y x" At, y' -y y" At, z' z" At, que l’on vient d’évaluer. Et ses équa 
tions s’écriront 
Xj — x _ y 1 — y _ z 1 — z 
x'-y x" At y'-y y" At . z'-y z" At 
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