COURBES GAUCHES : CENTRE ET RAYON 
»46 
coordonnées, dérivées pareillement réductibles à x' x" dt, y' -\-y"dt, 
z' + z"dt, ou impliquant la connaissance de x", y", z" au point 
(x, y, z), vu le rôle des petits changements de direction exprimés 
par x"dt, y"dt, z"dt, non moins essentiel que celui des petits chan 
gements simultanés de situation x'dt, y'dt, z'dt. Et le plan oscula- 
teur en {x, y, z), que détermine la tangente en ce point avec une 
parallèle à la tangente voisine, se trouvera également le même pour 
toutes les lignes considérées. Or, dans le cercle, le centre est à l’in 
tersection des deux plans normaux et du plan osculateur qui lui sont 
communs avec les autres lignes, notamment avec la courbe gauche 
proposée. Donc, comme ce plan osculateur et le premier plan normal 
se coupent suivant la normale principale correspondante, on pourra 
énoncer le principe suivant : 
Le centre du cercle osculateur cVune courbe gauche, pour un 
point donné, se trouve à l’intersection de la normale principale en 
ce point par un plan normal infiniment voisin, c’est-à-dire à la 
position limite du point oii cette normale principale perce un plan 
normal qui se rapproche d’elle indéfiniment. 
164. — Coordonnées du centre et rayon de ce cercle. 
Ce principe conduit aisément à l’expression des coordonnées, que 
j’appellerai x u y l , z 1} du centre du cercle osculateur pour le point 
(x,y, z) de la courbe gauche proposée. Siqiposons les axes rectangu 
laires, et prenons l’arc s de la courbe pour variable indépendante, afin 
que les équations de la normale principale se réduisent à (18) [p. 241]. 
Le plan normal qui la contient aura l’équation (to) [p. 235] et, le 
plan normal voisin, la même équation, où seulement x, y, z et x', y 1 , z' 
se trouveront accrus de leurs différentielles x' dt, y'dt, z'dt et x"dt, 
y"dt, z"dt. Or, comme il s’agit de considérer un point commun aux 
deux plans normaux, ou que x l} y u z l seront les mêmes dans les deux, 
l’équation du second peut être remplacée par sa différence d’avec celle 
du premier, différence divisible par dt ; ce qui donnera, comme pre 
mier membre de la nouvelle équation, la dérivée du premier membre 
de (10) le long de l’arc ds obtenue en traitant x x , y u z l comme des 
constantes. Cette dérivée se forme sans difficulté; car, par exemple, 
pour le premier terme x 1 {x t — x), dont les facteurs x 1 et x { — x ont 
respectivement pour dérivées x" et —x 1 , elle est x"(x\ — x) — x n . 
En observant que la somme de — x' 2 , —y' 2 et —z' 2 vaudra ici — 1 
d’après la première (9) [p. 235] et en faisant passer ce terme — 1 dans 
le second membre, nul jusque-là, l’équation substituée ainsi à celle du