DIX-HUITIÈME LEÇON.
O
DES SURFACES COURBES; PLAN TANGENT ET + POINTS SINGULIERS;
NORMALE; * LIGNES DE PENTE.
173. — Plan tangent à une surface.
D’après ce qu’on a vu au n° 41 (p. q4) et plus complètement au
n° 42* (dans le Fascicule II, p. 49*)> toute surface dont l’équation en
coordonnées rectilignes est de la forme F (a?, y, z) — une const. c,
avec un premier membre fonction continue de x, y, z et à dérivées
premières continues, admet généralement, en chacun (x, y, z) de ses
points, un plan tangent, dont elle s’écarte, à une petite distance tout
autour du point de contact {x, y, z), de quantités comparables au
carré de cette distance, et qui est le lieu des tangentes menées, au
même point, à toutes les courbes s’y croisant sur la surface. Il n’y a
d’exception que pour les points, dits singuliers, propres à certaines
de ces surfaces, et où s’annulent à la fois les trois dérivées partielles
de F en x, y, z.
Si l’équation de la surface a été résolue par rapport à z, ou mise
sous la forme z — f{x, y), et que p, q désignent les deux dérivées
partielles en x et en y de l’ordonnée z — f{x, y), nous avons trouvé
(p. g5) comme équation du plan tangent, avec x ly y 1: ¿q pour coor
données courantes,
(l) *i — *=p(x i — x)-t-q(y i —y).
Mais, quand l’équation de la surface est, plus généralement,
F(.r, y, z) — c, on a obtenu pour celle du plan tangent (dans le Fas
cicule II, p. 49*) et l’on trouve, d’ailleurs, de suite, en portant
dans (i) les valeurs de p et q qu’a données, au n° G6 (p. 120), la
différentiation de F(x, y, z) = c,
(2)
dF
dx
(Xi — x)
d F .
-y)
dF
(*1 —z) = o.
Par exemple, une surface du second degré rapportée à son centre et