252 PLANS TANGENTS AUX SUUEACES;
à trois demi-diamètres conjugués ayant son équation de la forme
(3)
avec trois constantes positives ou négatives A, B, C, les dérivées par
tielles du premier membre F(#, y, z), après division par le facteur
commun 2, y sontjj? pi ; et l’équation (2) du plan tangent y de
vient
x{x t — x) i y( yi — y) z(zy — z)^
A B G
ou
XX ! yv 1 zz, x- r 2 z s> -
“ÂT' + lT 4_ ir =: X + 'B + G'
Remplaçons le second membre par sa valeur 1 tirée de (3); et cette
équation du plan tangent à une surface du second degré prendra la
forme, parfaitement symétrique en x et x u y et y u z et z t ,
(4)
XX y yy y ZZ1
"S“ + "B" + TT
= I.
On remarquera qu’elle n’est pas moins du premier degré par rapport
aux coordonnées ¿c, y, z du point de contact que par rapport aux
coordonnées courantes x n y 1; z x .
Enfin on peut, comme il a été expliqué à la fin du n° 7 (p. 28), voir
dans une surface le lieu de la famille des courbes décrites parles diffe
rents points d’une même ligne, qui, d’un instant t à l’autre, se déplace
en se déformant d’une certaine manière. Les coordonnées x, y, z sont
alors fonction, le long de chaque courbe, de la variable indépendante t,
mais, d’une courbe à l’autre et pour même valeur de t, d’un para
mètre a, numéro d’ordre, en quelque sorte, des divers points de la
ligne génératrice; et l’on a, pour représenter la surface, trois équa
tions de la même forme x=f { (t, a), y — / 2 (i, a), z — a). Les
positions successives de la ligne génératrice constituent d’ailleurs,
sur la surface, une seconde famille de courbes, qui croisent les pre
mières et qui ont a pour variable (le long de chaque courbe), t pour
paramètre.
Comme les deux relations x— a), y— ol) déterminent t
et a en fonction de x et de y, et que, joar suite, .s ou a) devient
une fonction composée de x et de y par l’intermédiaire de t et de a,
on exprimerait aisément les dérivées en x et y de ¿, a et, par suite, z,
au moyen des dérivées immédiatement évaluables de f i} /2 et /3,
ou