EXPLICITES ET IMPLICITES.
2i)
des divisions en nombre quelconque, effectuées sur des fractions algé
briques, donnent pour résultat une nouvelle fraction. Ainsi, toute fonc
tion algébrique rationnelle équivaut à une fraction rationnelle, delà
forme
aæ m -h hx-h c—i— ...
a'x' l -\- b'x' l ~ l -T- c' . ..
Enfin, si le dénominateur de cette fraction se réduit à une constante,
par laquelle on pourra diviser tous les coefficients a, b, c, ... du nu
mérateur, la fonction devient un simple polynôme
Ax m -i- B x" 1 - 1 -H- G a?"*- 2 4-...,
où ne figurent que des indications d’additions, de soustractions et de
multiplications : elle est dite alors entière. On l’appelle même fonc
tion linéaire, quand elle est seulement du premier degré, comme
y ~ K.x —B, et représentée ainsi géométriquement par une ligne
droite. Ce cas particulier éminemment simple, auquel on cherche à
rapporter tous les autres, est évidemment caractérisé par ce fait qu’à
des accroissements égaux de la variable il en correspond toujours
d’égaux de la fonction et que, par conséquent, les accroissements de
la fonction y sont proportionnels à ceux de la variable.
Dans le second cas général, où la fonction y se trouve racine d’une
équation algébrique non résolue ou même non résoluble par radicaux,
la fonction est dite algébrique implicite. On la qualifie ainsi dé algé
brique, bien qu’aucune expression algébrique finie ne puisse repré
senter l’ensemble de ses valeurs, soit parce qu’elle jouit de propriétés
très analogues à celles des fonctions algébriques explicites (le fait
qu’une équation algébrique est ou non résoluble algébriquement
n’influant pas sur les plus importantes de ces propriétés), soit aussi
parce que la résolution des équations algébriques constitue en Algèbre
comme une sixième et dernière opération, savoir l’opération algé
brique par excellence, comprenant les cinq premières (empruntées à
l’Arithmétique), et même toutes leurs combinaisons possibles, comme
cas particuliers, mais ne pouvant en général s’y réduire. Il est, d’ail
leurs, permis d’attribuer aux coefficients de l’équation qui définit la
fonction y une forme entière et rationnelle en x, c’est-à-dire la forme
de simples polynômes; car si ces coefficients contenaient ou des dé
nominateurs, ou des radicaux, ou même des fonctions algébriques
implicites de x, on pourrait non seulement chasser les dénomina
teurs, mais aussi faire disparaître les radicaux et les fonctions impli
cites au moyen d’éliminations que l’Algèbre apprend à effectuer.
Enfin, dans le troisième cas, la fonction, qui ne se trouve ni calcu-