fonctions transcendantes; fonctions empiriques. 
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labié par un nombre fini d’opérations arithmétiques, ni même racine 
d’une équation algébrique à coefficients algébriques en x, est dite 
transcendante. Les moins compliquées de ces fonctions ont une ori 
gine algébrique. Ce sont, par exemple : i° les irrationnelles à expo 
sant incommensurable, comme æV 2 , qui, comprises avec les fonctions 
algébriques monômes dans un même type, x m , marquent, en quelque 
sorte, la transition des fonctions algébriques aux fonctions transcen 
dantes; 2° les séries convergentes à termes algébriques, mais dont la 
somme ne peut être exprimée par un nombre fini de pareils termes; 
3° enfin et surtout les fonctions exponentielles e x , a x , dont il sera ques 
tion bientôt, et leurs inverses, les fonctions logarithmes, qu’on écrira, 
par exemple, log^u. D’autres ont une origine géométrique. Les plus 
simples de celles-là se présentent dans le cercle et s’appellent fonc 
tions circulaires ou angulaires. Ce sont les sinus, cosinus, tangente 
et cotangente qu’a fait connaître la Trigonométrie, ainsi que leurs 
inverses arc sinus, arc cosinus, arc tangente et arc cotangente. Elles 
seront prochainement, dans ce Cours, l’objet d’une étude complé 
mentaire. 
Mais la plupart des fonctions transcendantes ont une origine encore 
plus complexe. On peut compter parmi celles-là presque toutes les 
fonctions représentant les phénomènes naturels : comme leur connais 
sance nous vient par l’expérience de quelques-uns de ces phénomènes, 
ou plutôt à l’occasion d’observations moins primitives et moins ou 
bliées que celles qui nous ont suggéré les idées géométriques ou ana 
lytiques fondamentales, on les appelle fonctions empiriques. Les 
géomètres réussissent souvent à les exprimer avec toute l’approxima 
tion désirable, du moins entre des limites suffisamment étroites, soit 
au moyen de fonctions algébriques que l’on calcule ensuite directe 
ment, soit au moyen de fonctions exponentielles et circulaires qui 
s’évaluent en recourant aux Tables ordinaires de logarithmes, soit 
même quelquefois au moyen de fonctions encore moins simples, pour 
lesquelles on possède ou l’on construit préalablement des Tables ana 
logues à celles de logarithmes. Les fonctions transcendantes considé 
rées deviennent ainsi, d’ordinaire, des séries et, généralement, des 
limites d’expressions d’une nature plus élémentaire, algébriques ou 
même transcendantes. En tout cas, leur calcul exact demanderait une 
infinité d’opérations arithmétiques : ce qui n’a rien d’étonnant, puisque 
déjà, avec des nombres entiers pour données, une extraction de racine, 
ou même une division à effectuer en décimales, ne se terminent généra 
lement pas. 
Pour nous faire une idée juste de l’infinie variété des fonctions