DEUXIÈME LEÇON.
O
VARIATION GRADUELLE DES FONCTIONS.—ÉTUDE DE CETTE VARIATION
DANS LES FONCTIONS LES PLUS USUELLES : FONCTIONS ALGÉBRIQUES,
SÉRIES, ARCS DE COURBE, ETC.
9. — Variation graduelle des fonctions; de la dérivée, pente ou fluxion
qui l’exprime.
Une propriété générale et naturelle des choses dont la grandeur
varie est leur continuité ou, plus explicitement, leur continuité re
lative (c’est-à-dire proportionnée à cette grandeur même) : elle con
siste en ce que, si l’une quelconque des variables dont dépendent ces
choses vient à changer, mais d’une fraction suffisamment petite de
I intervalle fini où on doit la considérer, elles ne changeront elles-
mêmes que d’une fraction aussi faible que l’on voudra de leurs valeurs
ordinaires ou moyennes. C’est tout au plus pour certaines valeurs
isolées des variables, valeurs clairement indiquées d’avance par la
nature même des choses en question, qu’il peut en être autrement et
qu’il y a, comme on dit, discontinuité ou brusque variation de celles-
ci. Or de là découlent deux caractères importants des fonctions algé
briques, et même de toutes les fonctions transcendantes exprimant
des phénomènes naturels qui nous aient été jusqu’ici accessibles.
Le premier consiste en ce que les fonctions sont continues, c’est-
à-dire telles, que, si l’on fait croître leurs variables par différences
assez faibles, elles éprouveront elles-mêmes des accroissements (posi
tifs ou négatifs) inférieurs à une fraction quelconque assignée de leurs
valeurs (finies) et, par conséquent, à toute quantité fixe autre que zéro
déterminée à l’avance, si petite qu’elle soit. C’est ce qu’on appelle
simplement la continuité des fonctions, mais qu’on pourrait appeler
aussi leur continuité absolue, pour indiquer que les changements y
sont dits petits à raison de leurs valeurs absolues, sans qu’on ait à s’y
préoccuper de leurs rapports aux fonctions elles-mêmes, à la grandeur
desquelles l’unité de mesure choisie est justement proportionnée.
Le second caractère consiste en ce que les fonctions dont il s’agit
varient graduellement, c’est-à-dire presque uniformément pour de