VARIATION GRADUELLE DES FONCTIONS. 
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accroissements très faibles des variables, ou par degrés successifs d’au 
tant moins inégaux, (comparés chacun au suivant) qu’on les prend 
plus petits. En d’autres termes, si l’on donne à la variable x un 
nombre quelconque n d’accroissements successifs égaux A, ne formant 
qu’un certain total II = nh assez faible, deux consécutifs des accrois 
sements partiels correspondants k (positifs ou négatifs) de la fonction 
y— f{x), auront entre eux un rapport presque égal à l’unité, et ten 
dant vers l’unité à mesure que n grandira ou que h y deviendra de 
plus en plus faible. La raison en est que, avec un accroissement h de 
la variable très petit, et constamment le même quelle que soit la va 
leur de x d’où l’on part, l’accroissement simultané 
k = f{x -h h) —f(x) 
de j constitue une nouvelle fonction de x, mais une fonction dont les 
valeurs sont extrêmement faibles et en rapport avec h lui-même : or, 
comme évidemment, quelque minime que soit/«, cette petite fonction 
est à considérer dans le même intervalle total que la proposée f{x), 
le principe de la continuité relative des choses, supposé la régir, l'as 
treint à ne changer que d’une fraction insensible de sa valeur dans 
toute fraction insensible aussi de cet intervalle total. Donc les n va 
leurs successives de k que comprendra l’intervalle partiel H auront 
toutes entre elles un rapport presque égal à i, mais surtout deux 
consécutives lorsque, n devenant très grand, leur intervalle h devien 
dra une partie de l’intervalle total incomparablement plus petite en 
core que n'était H. 
Cela posé, choisissons une valeur de x correspondant au milieu 
environ de l’intervalle considéré H, ou, plutôt, marquons un inter 
valle \ II de part et d’autre d’une valeur donnée quelconque de x, et 
appelons : i° Ax tout accroissement, positif ou négatif, inférieur à |dl 
(en grandeur absolue), reçu par x à partir de cette valeur fixe; 
i° Ay l’accroissement simultané de y. Si l'on prend extrêmement 
grand le nombre n des intervalles partiels A en lesquels on divise l’in 
tervalle lî, l’accroissement Ax pourra être mesuré avec une approxi 
mation indéfinie en adoptant h pour unité, et contiendra cette mesure 
un certain nombre entier ni de fois (positif ou négatif, suivant le sens 
où on la porte), avec un reste négligeable. Quant à Ay, il se com 
posera, sauf un reste analogue, de m accroissements presque égaux 
au premier d’entre eux k ou f{x-\-h) —J\ x )- En prenant n suffi 
samment grand, on aura donc, avec une erreur relative d’autant plus 
faible que Ax sera lui-même plus voisin de zéro, Ay — mk ou Ay — ~ Ax,