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DERIVEE OU PENTE D’UNE FONCTION.
vu que m exprimera le quotient très élevé • Ainsi, la propriété de
graduelle variation revient à dire que des accroissements suffisam
ment petits A.y d’une fonction sont sensiblement proportionnels à
ceux t\x de la variable, ou que le rapport ^ de pareils accroisse
ments simultanés ne varie plus d’une manière appréciable, si petit
qu’j devienne Èsx.
Autrement dit, le rapport
i\y f(,T'-\- A .t) - — f(:T )
de l’accroissement de la fonction à celui de la variable, tend vers une
limite déterminée quand ce dernier s’évanouit. Cette limite, d’où kx
a disparu, mais qui dépend encore de x, est évidemment une nou
velle fonction de x, à laquelle la loi de la continuité relative des
choses s’appliquera comme kf{x). On l’appelle la dérivée de f{x).
Newton la désignait par la même lettre que la fonction proposée elle-
même, mais surmontée d’un point. Lagrange a remplacé le point par
un accent qu’on met à la suite. Par exemple, la dérivée de y ou de
f{x) s’écrira soit y', soit f\x).
La dérivée y' peut recevoir d’autres noms, suivant le mode de re
présentation qu’on adopte pour la fonction.
Si celle-ci, y = f{&), est figurée par une courbe, AB, rapportée à
un axe horizontal Ox des abscisses et à un
axe vertical 0/ des ordonnées, les accrois
sements, isx et Ay, éprouvés par les coor
données x ely quand on passe d’un point
M à un point voisin M', se construisent
en menant les deux ordonnées correspon
dantes MP, M'P', et en les coupant par
l’horizontale MH, de manière à obtenir
l’accroissement HM' de l’altitude Y entre
les deux points M et Mb La projection ho
rizontale PP' ou MH de la corde MM' qui
les joint exprime évidemment \x, et l’élé
vation HM' ( positive ou négative) de AP au-
t Ar . HM'
Le rapport n est donc autre que -^jj
ou, justement, ce qu’on appelle la petite de la corde MM'. Il fixe la di
rection de cette corde; car il égale, dans Je triangle rectangle MHM',
la tangente trigonométrique de l’angle HMM'qu’elle fait avec l’horizon-
Fig. 6.
dessus de M exprime Ay.
