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VARIATIONS FINIES EXPRIMÉES PAR EA DÉRIVÉE. 
les rapports ^ s’y annuleront de même, ou que la fonction y sera 
constante. Réciproquement, dans tout intervalle où la fonction varie 
suivant le même sens que sa variable, la dérivée, évidemment inca 
pable d’y devenir négative (comme limite de rapports positifs), ne 
peut même nulle part s’annuler d’une manière continue, sans quoi 
y cesserait d’y varier, et elle est positive ou ne s’annule qu’acciden- 
lellement. De même, dans tout intervalle où la fonction varie en sens 
inverse de sa variable, la dérivée est évidemment négative, tout en 
pouvant s’annuler pour des valeurs isolées de sa variable. Et quant aux 
endroits où la fonction resterait constante, la dérivée y serait nulle 
. . Av 
d une manière continue, vu qu on y aurait constamment = o et, 
par suite, limite de — o. Ainsi, une corrélation parfaite existe 
entre le mode de variation d’une fonction et le signe de sa dérivée. 
Il suit encore delà que deux fonctions u, v, dont les dérivées u 1 , v' 
sont égales pour toutes les valeurs de la variable x, ne peuvent dif 
férer que par une constante. En effet, leur différence u — v varie 
évidemment, quand x reçoit un certain accroissement \x, de l’excé 
dent A u — \v de l’accroissement correspondant de u sur celui de c; 
de sorte que 
la dérivée de u— v est la limite du rapport 
Am Ap 
\x \x ’ 
ou égale, par conséquent, la quantité u' — v', constamment nulle 
quand les dérivées u' et v 1 des deux fonctions proposées ont les mêmes 
valeurs. Ainsi, la différence u — v se réduit bien à une constante. 
Sous une forme plus géométrique ou plus concrète, cette proposi 
tion revient à dire que les ordonnées u=f(x) d’une courbe sont dé 
terminées, dès qu’on donne ses pentes successives f\x) en fonction 
des abscisses x et, en outre, l’ordonnée particulière correspondant 
à une seule abscisse, dite initiale, que j’appellerai x 0 . Car, si v = ¥{x) 
est l’ordonnée de toute courbe ayant ses pentes F'(.#) égales aux pentes 
données f\x) de la proposée, les deux fonctions u, v, à dérivées con 
stamment égales, garderont sans cesse entre elles leur différence pri 
mitive, nulle par hypothèse quand la valeur correspondante F(ît 0 ) de 
v doit être précisément celle, f{x 0 ), de u. Donc on aura bien, quel que 
soit x, v — u, et une seule courbe sera possible. 
Mais revenons au rapport ^ des accroissements simultanés éprou- 
vés par une fonction y —f{x) et par sa variable x lorsque celle-ci 
passe de la valeur x à la valeur x -+- ±x, rapport compris entre la plus