THÉORÈME DE ROLLE. 
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entre la plus 
petite et la plus grande des valeurs que reçoit dans l'intervalle la dérivée 
y'. D’ordinaire, cette dérivée y' est continue; ce qui signifie qu’elle 
ne va de sa plus petite à sa plus grande valeur, ou vice versa, que par 
des variations insensibles et, conséquemment, en prenant toutes les 
valeurs intermédiaires, y compris celle qui égale — • Si donc on ap 
pelle 6 Ax une fraction convenablement choisie de Ax, ou 0 un certain 
nombre compris entre zéro et i (en sorte que x + 0 Ax puisse représen 
ter suivant les cas toutes les valeurs intermédiaires entre x et x -i- Ax), 
la valeur de x qui rend la dérivée égale au rapport considéré ~ 
pourra s’écrire x 6 Ax-, et l’on aura 
= /'{x 6 Ax) ou Ay = f'{x -4- 0 Ax) Ax. 
Cette formule permet de démontrer une importante proposition, 
qui s’énonce ainsi ; Lorsqu'une fonction, continue dans un certain 
intervalle ainsi que sa dérivée, y passe deux fois par une même 
valeur, il existe, entre les deux valeurs correspondantes de la va 
riable, une troisième valeur annulant la dérivée. On peut appeler, 
en effet, x, x -+- Ax les deux valeurs de la variable pour lesquelles la 
fonction atteint la grandeur considérée, et, en faisant alors Ay = o, 
la formule donne bien f\x + 6 Ax) = o. 
Si la dérivée f{x) n’était pas continue, le théorème d’où l’on a 
déduit cette formule montrerait seulement que la plus petite et la 
plus grande des valeurs de f\x) comprendraient entre elles le rap- 
A y 
port nul ~ , et que, par conséquent, cette dérivée changerait de 
signe pour une certaine valeur (de la variable) intermédiaire entre x 
et ¿r + Ax. 
Quand une équation est de la forme f(x) = o, avec un premier 
membre f{x) fonction continue, ainsi que sa dérivée f{x), pour 
toutes les valeurs finies de x, deux quelconques des valeurs de x qui 
font acquérir à f{x) la valeur zéro en comprennent donc au moins une 
annulant f\x). Ainsi, entre deux racines consécutives de V équation 
proposée f{x) = o il en existe au moins une de l’équation déri 
vée f f (x)=o, et, par suite, entre deux racines consécutives de l’équa 
tion dérivée f {x) — o il ne peut en exister plus d’une de l’équa 
tion proposée f{x) =. o. C’est Je théorème de Rolle, qui permet, si 
l’on sait résoudre l’équation dérivée f{x) = o, de séparer les racines 
ê-Qf{x) — o, puisque celles mêmes de f{x) = o, rangées par ordre 
de grandeur entre — co et +• oo, constitueront avec ces valeurs extrêmes