desquelles il 
Lorsque \x y 
appelant £ la 
loin. 
de leurs com- 
iduit, quotient. 
-, qui prouvent 
étions élémen- 
, et dans leurs 
érence, comme 
ine variable x, 
accroissement 
accroissements 
i divisant, par 
nsuite \x vers 
ifférence est la 
entrant dans 
nt, c’est-à-dire 
et, par consé- 
se réduisait à 
r A.x, vaudrait 
certain nombre 
arme au, ayant 
-J— u' -4— .. . est 
nombre entier 
ime cas limite, 
¿finition même 
ivée se trouve- 
produit d'un 
ait du facteur 
DÉRIVÉES D’UN PRODUIT ET D’üN QUOTIENT. 87 
viables tous les deux. Si l’on fait croître x de \.x, u croît de Au, v de 
Au, y de A.y, et l’on a, 
Ay — (u -1- A u)(v -i-Au)— uv = u A u -+- u Au -+- A u Au; 
d’où, en divisant par Ax, 
A y A u Au A u . 
Tx =< ’ H + + 
Enfin, faisons tendre \x vers zéro, et passons à la limite en obser 
vant que ~ Au y devient «'Au ou zéro. Nous aurons simplement 
y 1 = u«' H- uv' et, en divisant par y = uv, 
y _ 4_ t. 
y U 1 u * 
Ainsi, la dérivée d’un produit divisée par ce produit est la somme 
des dérivées de ses facteurs divisées de même par ces facteurs res 
pectifs. Or il est clair qu’une pareille loi est générale ou s’étend au 
cas d’un nombre quelconque de facteurs; car, si l’on décompose l’un 
des deux considérés d’abord, u par exemple, en deux nouveaux fac- 
\ r • V 1 
leurs nu, nu,, la môme démonstration permettra de remplacer - par 
— -4- — : et ainsi de suite quand on opérera de nouveaux dédouble- 
W Wi 
ments d’un facteur en deux autres. 
Donc, en général, si y — uvw.. ., on aura 
En multipliant les deux membres par y — uvw..., on verra que la dé 
rivée d’un produit est la somme des produits qu’on obtient en mul 
tipliant la dérivée de chaque facteur par le produit de tous les 
autres. 
Si la fonction donnée y est le quotient, y =z ”, de deux fonctions u 
et u de x, u sera le produit de u par y et la formule (i) donnera 
ou bien, en transposant et multipliant finalement par y = - , 
cleurs u, v va 
is) 
u-