DERIVEE DES FONCTIONS INVERSES.
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13*. — Suite : dérivée d’une série.
(Compléments, p. t*).
14. — Dérivée d’une fonction inverse.
Les considérations géométriques facilitent souvent les calculs de
dérivées, ou conduisent du moins à des formes intéressantes des ré
sultats de ces calculs.
Si, par exemple, étant donnée une fonction y — f{oc), ou plutôt sa
dérivée f\x), pour x correspondant à une
certaine valeur désignée y de la fonction,
on demande d’obtenir la dérivée de la
fonction inverse x = cp(jp) à l’instant où y
y reçoit cette valeur, il suffira de repré
senter les deux fonctions /, cp par la même
courbe plane AB, rapportée à deux axes
rectangulaires O x, O y et considérée, d’une
part, dans la figure OM'MB qu’elle forme
avec Ox, figure exprimant la fonction
directe y=f{x), d’autre part, dans celle, OM"MB, qu’elle forme
avec 0/, figure exprimant la fonction inverse x — y{y). Les deux
pentes, représentant f'{x) et cp'{y), de la tangente MT par rapport
aux axes Ox, O y ou à leurs parallèles Mx', M y', seront les tangentes
trigonométriques des deux angles æ'MT, jy'MT complémentaires; et,
par suite, d’après une propriété connue des tangentes de pareils
angles, leur produit vaudra l’unité. On aura donc
(7) /'(a?)cp'(j) = i; d’où cp\y) = j r L-y
C’est ce qu’on énonce en disant que les dérivées de deux fonctions
inverses sont l’inverse l’une de l’autre ou ont pour produit l’unité.
On l’aurait, du reste, trouvé encore plus directement, si l’on avait
dégagé de la démonstration précédente ses éléments essentiels, en re
marquant que deux mêmes accroissements très petits, Csx et Ay, des
variables x et y, servent à calculer les deux rapports ~ et > qui de
viennent, à la limite, les deux dérivées respectives f'{x), cp '{y). Or,
ces rapports ayant pour produit l’unité, il ne peut en être autrement
de leurs limites.
15. — Dérivée d’un arc de courbe.
Une construction très simple fait, de même, connaître la dérivée de
l’arc, ou du chemin, que parcourt un mobile dont les trois coordonnées
Fig. 7.
