DÉRIVÉE D’UN ARC DE COURBE. 
44 
x, y, z, par rapport à un système d’axes rectangulaires, sont trois 
fonctions données/i,/ 2 ,/3 du temps t. Ce chemin, qu’on désigne d’or 
dinaire par s, se compte à partir du point particulier A (fig. 8) de la 
courbe décrite, où se trouvait le mobile à un moment donné, et posi 
tivement pour les époques ultérieures à ce moment, négativement poul 
ies époques antérieures. Il est clair que, ayant une certaine valeur à 
chaque instant, il constitue bien une fonction de t déterminée, dont 
la dérivée doit pouvoir s’obtenir dés que l’on connaît, par les trois 
relations x =/](£), y =f 2 (t), z = / 3 (t), la loi du mouvement. 
Soit AM = s l’arc, parcouru jusqu’à l’époque t où le mobile se trouve 
en un point M ayant les coordonnées x, y, z, et MM' l’arc très petit 
décrit, aussitôt après, durant un instant At, arc que nous appellerons 
As parce qu’il est l’accroissement de s correspondant à A t. Et nous dé 
signerons naturellement par x + Ax, y -+- Ay, z + Az les coordonnées 
de la situation M' du mobile à l’époque t -+- A t, afin que Ax, Ay, Az 
expriment les accroissements respectifs reçus par x, y, 5 lors de ce 
passage de M à M'. 
Ces accroissements se construisent, comme on sait, en menant par 
M et par M 7 des plans parallèles aux 
¡dans coordonnés des yz, des zx, 
des xy, et en mesurant, le long des 
droites MP, MQ, MR formées par 
leurs intersections mutuelles, l’écart 
de deux de ces plans qui sont paral 
lèles soit aux yz, soit aux zx, soit 
aux xy. Les trois arêtes MP, MQ, 
MR du parallélépipède MPQRM 7 , 
~ comptées positivement ou négative 
ment suivant qu’elles sont tirées dans 
les sens respectifs de Ox, O y, O z 
on dans les sens contraires, expri 
ment donc Ax, Ay, Az. Or, la diagonale MM 7 , représentée aussi par 
y/(MP) 2 -h (MQ) 2 + (MR) 2 , est la corde de l’arc As et a avec As, d’a 
près le théorème de la fin du n° 5 (p. 16), un rapport très peu diffé 
rent de Limité : As égale ainsi leprodnitde y/(MP) 2 + (MQ) 2 -+- (MR) 2 
par un facteur tendant vers l’unité quand A t tend vers zéro, et, comme 
As 
MP — ±Ax, MQ =:± Ay, MR— zb As, le rapport —, dont on se 
projiose d’obtenir la valeur limite, est le produit de 
Fis. 8. 
/ 
M' 
/ < 
/ 
Ax 
6