CHOIX DE L’ARC COMME VARIABLE INDÉPENDANTE. 
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par ce même facteur. Lorsque At s’évanouit et que — 
deviennent les dérivées respectives x', y', z', s', on a do 
(8) 5' = A'*+/* + *' 2 = H\ ( O 2 +A ( 0* + / 3 ( O 2 - 
Tandis que les trois dérivées x',y', z' mesurent les espaces qui, à 
partir de l’époque t, seraient parcourus suivant les trois axes respec 
tifs, durant une unité de temps, si le mouvement continuait à se faire 
pendant toute cette unité de temps comme à l’époque t, la dérivée s r 
mesure l’espace effectif qui serait décrit par le mobile dans les mêmes 
conditions. Aussi cette dérivée s’appelle-t-elle la vitesse totale du mo 
bile, ou simplement sa vitesse, alors que x', y', z' n’en sont que les 
vitesses suivant les axes. 
Si l’on voulait considérer, et qu’on appelât s, non pas le chemin 
total parcouru depuis un instant donné, mais la distance actuelle du 
mobile, mesurée le long même de la courbe, au point A de cette 
courbe, en la comptant positivement pour les points M qui seraient 
censés se trouver au delà du point A et négativement pour ceux qui 
seraient en deçà, l'accroissement As et, par suite, la dérivée s' devraient 
évidemment avoir le signe + aux moments où le mobile avancerait 
sur sa trajectoire et le signe — aux moments où il reculerait. Le ra 
dical, dans (8), devrait donc se prendre, suivant les cas, positive 
ment ou négativement. Mais, en Géométrie, on le prend toujours po 
sitivement ; car on y suppose, pour simplifier, la courbe parcourue d’un 
mouvement direct, c’est-à-dire sans aucune alternative de rétrograda 
tion, en sorte que les accroissements As de l’arc soient positifs comme 
ceux A t du temps. 
De toutes les manières de décrire la courbe, la plus simple est celle 
où le mobile avance constamment d’un espace égal à i dans un temps 
égal à t; ce qui, en comptant le temps t à partir du moment où le 
mobile était en A, rend l’espace s égal au temps t et fait, par consé 
quent, de l’arc s la variable indépendante. Il vient alors s' — i ; et la 
formule (8), élevée au carré, donne 
(9) I 2 -hy ,2 -hz' 2 = i. 
Ainsi les coordonnées x, y, z ne sont plus alors trois fonctions dis 
tinctes (c’est-à-dire quelconques toutes les trois) de la variable indé 
pendante s, puisque les carrés de leurs trois dérivées se trouvent 
astreints à avoir pour somme l’unité; et aucune de ces fonctions n’est 
même tout à fait arbitraire, sa pente devant rester toujours comprise 
entre — i et -h i. 
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