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en éliminant n, 
DÉRIVÉE DE LA FONCTION 6 X . 
7= 1 + 
I \ mx r / j \m~\x 
m ) \ 1 m ) 
D’ailleurs, l’excédent, Ay, d’une ordonnée quelconque [i 
i \ n ei 
\ m, 
sur la précédente y— ( i H- — j , et la différence, Ax, des deux 
abscisses correspondantes -— 1 , — ou x, seront 
m m 
Ar — ( 1 + 
i -+- 
y_ 
m 
Aa^ = 
d’où 
A7 
\x 
■y- 
Ainsi, le rapport de l’accroissement élémentaire de la fonction à celui 
de la variable égale constamment la valeur actuelle de la fonction. 
Or, si l’on conçoit, pour réduire de plus en plus l’intervalle des 
ordonnées, que m grandisse indéfiniment, l’expression |i h—A j 
tendra, comme on a vu (p. 4vers le nombre e. Il viendra donc, à 
la limite, l’expression e x , comme étant la fonction continue cherchée. 
Dans la courbe qui la représentera, l’accroissement, k, éprouvé par 
l’ordonnée y pour tout accroissement très petit h de l'abscisse, se 
composera d’un nombre, accru immensément, de différences élémen 
taires Ay ayant avec les différences analogues S.x de l’abscisse un 
rapport, y, très peu différent, pour toutes, de l’ordonnée e x se rappor 
tant à la première d’entre elles; et, par conséquent, d’après un théo 
rème auquel nous avons recouru plusieurs fois (note de la p. 12), la 
somme, k, de ces valeurs de Ay sera à celle, h, des valeurs correspon 
dantes de dans un rapport sensiblement égal encore à e x , ou, 
plutôt, de moins en moins différent de e x si l’on prend de plus en 
plus faible la valeur absolue de h. Ainsi, la dérivée de la fonction 
exponentielle e x égale la fonction e x elle-même. 
C’est, du reste, ce que l’on reconnaît avoir déjà lieu sensiblement 
( l \ mx 
1 -h — j ? prise avec m très grand et supposée 
rendue continue par l’adjonction d’exposants m x non entiers; car, si 
l’on y fait croître x d’une très petite quantité h, et que k désigne 
. / 1 \ rnx+mh ! j \ mx 
1 accroissement correspondant, (i-h— j —f 1 —t— •— I , de y, 
il vient