DÉVELOPPEMENT DE C x . 
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a p. 12), la 
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ie plus en 
% fonction 
isiblement 
t supposée 
irs ; car, si 
k désigne 
mx 
’ de j, 
/ t \ m h 
ou bien, en appliquant à i 1+ — j la formule (3) (p. 4o), 
k=y{i + A(n-e) — 1] = Aj(H-e). 
l'Z • , • , 
Ainsi, le rapport-^ et, par suite, la dérivée de la fonction y sont de 
la forme y( 1 + e) ; ce qu’il s’agissait de reconnaître. 
La fonction e x , d’après la formule (4) [p. 4 2 ]> est limite de l’ex- 
( X \ m 
1 -h — j j algébrique si l’on choisit le très grand nombre m 
commensurable. Nous pouvons même y attribuer à m une valeur po 
sitive entière, afin que l’expression soit un simple polynôme; et la 
formule du binôme de Newton (ou plutôt de Pascal), bien connue, 
donnera aisément, pour ce polynôme ordonné suivant les puissances 
ascendantes de x, 
Or, si, faisant croître m indéfiniment, on considère dans le troisième 
membre un terme d’un rang très élevé quelconque, mais fixe, le 
+ i'è“ 6 par exemple, avec tous ceux qui le précèdent, leur somme 
tendra vers 
x x 2 x i 
I —î - — —f~ —T" . . . —t- — r ) 
I 1.2 1.2.3. . .1 
car les facteurs en nombre déterminé 1 — 
1 
m 
i — 
y donneront à la limite comme produits l’unité. Et cela sera vrai pour 
un nombre de termes indéfiniment croissant avec m. Quant aux au 
tres, de plus en jdus éloignés, où certains de ces facteurs, comme 
1 rester °nt sensiblement inférieurs à 1, termes évidemment 
moindres, en valeur absolue, que leurs analogues dans la série 
H- t~ , ■> + •. •, leur somme tendra vers zéro si la valeur 
1 +- 
1 
1.2 1.2.3 
absolue totale des termes, suffisamment éloignés aussi, de cette dernière 
B. — I. Partie élémentaire. 4