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DÉVELOPPEMENT DE 6 X ) VALEUR DU NOMBRE 6. 
série y tend elle-même. Or c’est ce qui a lieu; car, dans l’expression 
*+• 
• * J 
I 1.2 I .2.3 
. .(/l + l) 
i.2.3. 
I .2.3. . .Tl 
le rapport du (/z+2) ième terme au (/i + i) iûmc égale —et tend vers zéro 
quand n grandit sans limite. Par conséquent, d’après le caractère de 
convergence le plus simple (p. 8), la série considérée a une valeur 
finie assignable, parfaitement déterminée, quel que soit x entre —oo 
et +oo. La formule (12) deviendra donc, en passant à la limite et 
remplaçant le premier membre par e x , 
C’est ainsi que la fonction transcendante e x , réduite en série, con 
stitue, comme on voit, le forme limite d’une fonction algébrique en 
tière, ou d’un simple polynôme. Et l’on reconnaît de suite que cette 
série a bien pour dérivée une série égale. 
La formule (i3), en y faisant x — x, donne la valeur du nombre e 
sous la forme très convergente 
-i i + 
1.2 1.2.3 
+ 
1.2.3...n 
On en déduit, par le calcul du second membre, e = 2,7182818. . .. Les 
diverses puissances de ce nombre deviennent évidemment aussi grandes 
que l’on veut quand leur exposant est positif et croissant, aussi pe 
tites ou, du moins, aussi voisines de zéro que l’on veut quand leur 
exposant est négatif et décroissant vers —00; de sorte qu’en y com 
prenant les valeurs fractionnaires de l’exposant, elles forment bien 
une suite continue croissant de zéro à l’infini lorsque la variable y 
grandit de — 00 à + 00. 
On conçoit que la formule (i3) puisse servir à calculer une Table de 
cette suite de valeurs, Table où il sera possible de lire à l’inverse, 
pourvu qu’elle soit assez complète, la valeur même de x correspon 
dant à telle valeur positive de y=e x que l’on voudra. C’est cette 
fonction x, inverse de y — e x , qu’on appelle la fonction logarith 
mique, ou, plus précisément, le logarithme de sa variable y, et qu’on 
écrit logy. Elle est évidemment croissante, comme e x , et même 
depuis —00 jusqu’à + co; mais sa variable, e x ou y, n’y varie que de 
zéro à + 00, rendant la fonction considérée x négative, tant qu’elle 
est elle-même plus petite que i, et positive, dès qu’elle dépasse l’unité. 
On verra plus loin, pour calculer les diverses valeurs de logy, un